קוד:אופרטור נורמלי וזווית

\begin{remark} תזכורת - זווית בין וקטורים

נזכיר כי עבור $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, אם $0\neq u,v\in V$, אזי הזווית $\varphi$ בין הווקטורים $u,v$ היא המספר היחיד באינטרוול $\left[0,\pi\right]$ המקיים $\cos\varphi=\frac{\left \langle u,v \right \rangle}{\left \| u \right \|\left \| v \right \|}$.

\end{remark}

נראה כעת מה הקשר בין אופרטורים נורמליים ואוניטריים לזוויות.

\begin{thm}

אם $T$ נורמלי, ואם $u,v\in V$ שונים מאפס, אזי הזווית בין $T\left(u\right),T\left(v\right)$ שווה לזווית בין $T^*\left(u\right),T^*\left(v\right)$.

\end{thm}

\begin{proof}

נשים לב כי אם $T$ נורמלי, אזי $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$, ולכן גם $\left \| T\left(u \right ) \right \|=\left \| T^*\left(u \right ) \right \|$ ו-$\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|$. אם כן, $$\cos\sphericalangle \left(T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right )=\frac{\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle}{\left \| T\left(u \right ) \right \|\left \| T\left(v \right ) \right \|}$$ $$\cos\sphericalangle \left(T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right )=\frac{\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle}{\left \| T^*\left(u \right ) \right \|\left \| T^*\left(v \right ) \right \|}$$ ולכן הזוויות שוות.

\end{proof}