קוד:אי-שוויון בסל

\begin{thm} אי-שוויון בסל Bessel

תהי $\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$ קבוצה אורתונורמלית, ויהי $v\in V$. אזי $$\left \| v \right \|^2\ge\left | \left \langle v,v_1 \right \rangle \right |^2+\cdots+\left | \left \langle v,v_k \right \rangle \right |^2$$

\end{thm}

\begin{proof}

נשלים את הקבוצה $\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$ עד לבסיס אורתונורמלי $\left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. נשתמש במשפט פיתגורס: $$\left \| v \right \|^2=\left | \left \langle v,v_1 \right \rangle \right |^2+\cdots+\left | \left \langle v,v_k \right \rangle \right |^2+\left | \left \langle v,v_{k+1} \right \rangle \right |^2+\cdots+\left | \left \langle v,v_n \right \rangle \right |^2\ge\left | \left \langle v,v_1 \right \rangle \right |^2+\cdots+\left | \left \langle v,v_k \right \rangle \right |^2$$

\end{proof}