קוד:אי-שוויון המשולש לנורמה המושרית

כעת אנו מוכנים למלא חור ישן: כאשר הגדרנו את הנורמה המושרית ממכפלה פנימית, נותר שם $\bullet$ - חור; לא הוכחנו את אי-שוויון המשולש. כעת, יש בידינו את הכלים להוכיח אותו.

\begin{thm} אי-שוויון המשולש לנורמה המושרית על ידי מכפלה פנימית

$$\left \| u+v \right \|\leq\left \| u \right \|+\left \| v \right \|$$

\end{thm}

\begin{proof}

ראשית, אם $z=x+iy\in\mathbb{C}$, $$z+\overline{z}=\left(x+iy \right )+\left(x-iy \right )=2x=2\operatorname{Re}\left(z \right )\leq2\left | z \right |$$

כעת, נוכיח כי $\left \| u+v \right \|^2\leq\left(\left \| u \right \|+\left \| v \right \|\right)^2$: $$\left \| u+v \right \|^2=\left \langle u+v,u+v \right \rangle=\left \langle u,u \right \rangle+\left \langle u,v \right \rangle+\left \langle v,u \right \rangle+\left \langle v,v \right \rangle=$$ $$=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+\overline{\left \langle u,v \right \rangle}+\left \langle u,v \right \rangle=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+2\operatorname{Re}\left(\left \langle u,v \right \rangle\right)\leq$$ $$\leq\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+2\left | \left \langle u,v \right \rangle \right |\leq\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2+2\left \| u \right \|\left \| v \right \|=\left(\left \| u \right \|+\left \| v \right \|\right)^2$$

\end{proof}