קוד:אי-שוויון קושי-שוורץ
נוכיח כעת אי-שוויון נוסף, שיעזור לנו לקבל משמעות גיאומטרית למכפלה הפנימית ולהגדיר גם זווית בין וקטורים. חשוב לציין - בכל משפט שבו משתמשים בנורמה ובמכפלה פנימית, הנורמה היא הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית.
\begin{thm} אי-שוויון קושי-שוורץ
\begin{enumerate}
\item לכל $u,v\in V$ מתקיים אי-השוויון $\left | \left \langle u,v \right \rangle \right |\leq\left \| u \right \|\cdot\left \| v \right \|$.
\item שוויון מתקיים אם ורק אם $u,v$ תלויים לינארית.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item נניח $u\neq 0$, ונתבונן בווקטור $w=\frac{1}{\left \| u \right \|}u$. הוא נורמלי, כלומר $\left \| w \right \|=1$.
נתבונן ב-$W=\operatorname{Span}\left\{w\right\}$. $\left\{w\right\}$ בסיס אורתונורמלי של $W$, כלומר גם $\left\{w\right\}$ קבוצה אורתונורמלית ב-$V$. נשתמש באי-שוויון בסל; נקבל שלכל $v\in V$ מתקיים $$\left \| v \right \|^2\ge\left | \left \langle v,w \right \rangle \right |^2=\left | \left \langle v,\frac{1}{\left \| u \right \|}u \right \rangle \right |^2=\left |\frac{1}{\left \| u \right \|} \left \langle v,u \right \rangle \right |^2=\frac{1}{\left \| u \right \|}^2\left | \left \langle u,v \right \rangle \right |^2$$
לכן $\left \| v \right \|^2\left \| u \right \|^2\ge\left | \left \langle u,v \right \rangle \right |^2$, ומקבלים את הדרוש.
אם $u=0$, אזי לכל $v$ מתקיים $\left \langle u,v \right \rangle=0$, וכן $\left \| u \right \|=0$, כלומר מתקיים שוויון.
\item אפשר להניח $u\neq0$. אזי לפי ההערה לאי-שוויון בסל, שוויון מתקיים אם ורק אם $v\in\operatorname{Span}\left \{ w \right \}$ אם ורק אם $v\in\operatorname{Span}\left \{ u \right \}$ אם ורק אם $u,v$ תלויים לינארית.
\end{enumerate}
\end{proof}
