קוד:האיזומורפיזם מהמרחב למרחב הדואלי השני

\begin{remark}

נחפש איזומורפיזם מהמרחב למרחב הדואלי השני. הפעם, לעומת האיזומורפיזם מהמרחב לדואלי שלו, אפשר לבנות איזומורפיזם זה בלי לבחור בסיס ב-$V$ - איזומורפיזם טבעי.

נגדיר לכל $\varphi\in V^*$, $\hat{v}\left(\varphi \right )=\varphi\left(v \right )$ (\textbf{איזומורפיזם ההצבה}).

בדיקות:

\begin{enumerate}

\item נבדוק כי $\hat{v}\in V^{**}$. $$\hat{v}\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )=\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )\left(v \right )=\alpha\varphi_1\left(v \right )+\beta\varphi_2\left(v \right )=\alpha\hat{v}\left(\varphi_1 \right )+\beta\hat{v}\left(\varphi_2 \right )$$

\item נסמן $E:V\rightarrow V^{**}$, כאשר $E\left(v\right)=\hat{v}$. נבדוק ש-$E$ איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים.

\begin{description}

\item[לינאריות] נבדוק האם $E\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )=\alpha E\left(v_1 \right )+\beta E\left(v_2 \right )$. נחשב את הערך של שני הצדדים עבור איזשהו $\varphi\in V^*$: $$E\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )\left(\varphi \right )=\widehat{\left (\alpha v_1+\beta v_2 \right )}\left(\varphi \right )=\varphi\left(\alpha v_1+\beta v_2 \right )=\alpha\varphi\left(v_1 \right )+\beta\varphi\left(v_2 \right )=$$ $$=\alpha\hat{v_1}\left(\varphi \right )+\beta\hat{v_2}\left(\varphi \right )=\left(\alpha\hat{v_1}+\beta\hat{v_2} \right )\left(\varphi \right )=\left(\alpha E\left(v_1 \right )+\beta E\left(v_2 \right ) \right )\left(\varphi \right )$$

\item[חח"ע] נבדוק ש-$E$ חח"ע, כלומר $\ker E=0$. יהי $v\in\ker E$, ז"א $\hat{v}=0$. נגדיר $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, ויהי $B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$ הבסיס הדואלי. נשים לב כי לכל $i=1,\dots,n$ מתקיים $0=\hat{v}\left(\varphi_i\right)=\varphi_i\left(v\right)$, ולכן $\left[v\right]_B=0$, כלומר $v=0$.

\end{description}

ממשפט המימדים, נקבל ש-$E$ העתקת על, ז"א $E$ איזומורפיזם.

\end{enumerate}

\end{remark}