קוד:הגדרת הטלה של וקטור על תת-מרחב

כעת נרצה לקחת וקטור, ולהטיל אותו על תת-מרחב מסוים. אנחנו נתחיל עם הגדרה (שאולי תיראה מעט מסובכת), ואז נצדיק אותה.

\begin{definition}

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית, ויהי $W\subseteq V$ תת-מרחב. יהי $v\in V$. נניח ש-$B=\left \{ w_1,\dots,w_k \right \}$ בסיס אורתוגונלי של $W$, ונגדיר את \textbf{ההיטל של $v$ על $W$}: $$\pi_B\left(v \right )=\frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}w_1+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}w_k$$

\end{definition}

\begin{proof}[הצדקת ההגדרה]

הרעיון בהיטל הוא "לפרק" את הווקטור $v$ לשני חלקים: האחד במרחב $W$, שהוא ההיטל, והשני ב-$W^\perp$. הבחירה בבסיס אורתוגונלי איננה מקרית; זה כמו "פירוק לצירים", כי כל וקטור בבסיס מסמן כיוון ב-$W$, כמו הצירים ב-$\mathbb{R}^n$.

נסמן את הפירוק הזה $v=w+w'$, כאשר $w\in W$ ו-$w'\in W^\perp$. יש לנו בסיס של $W$, ולכן נוכל לכתוב $w=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k$. בסך הכל,

$v=w+w'=\underbrace{\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k}_{\pi_B\left(v \right )}+w'$

לאחר שהגדרנו בסיס אורתונורמלי, הצגנו דרך למצוא את המקדמים בצירוף הלינארי. נפעל באופן דומה כאן: נכפול (במובן מכפלה פנימית, כמובן) את $v$ ב-$w_i$, כשניעזר בעובדה ש-$B$ בסיס אורתוגונלי וש-$w'\in W^\perp$. אם כן, נקבל: $$\left \langle v,w_i \right \rangle=\left \langle\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k+w',v_i \right \rangle= \alpha_1\underbrace{\left \langle w_1,w_i \right \rangle}_{=0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\left \langle w_i,w_i \right \rangle}_{=\left \| w_i \right \|^2}+$$ $$+\cdots+ \alpha_k\underbrace{\left \langle w_k,w_i \right \rangle}_{=0} +\underbrace{\left \langle w',w_i \right \rangle}_{=0}=\alpha_i\left \| w_i \right \|^2$$

אנחנו יודעים ש-$w_i\neq 0$ לכל $i=1,\dots,n$ (כי $B$ בסיס), לכן $\left \| w_i \right \|\neq0$, ולכן נוכל לחלק ולקבל את המקדם בצירוף הלינארי: $\alpha_i=\frac{\left \langle v,w_i \right \rangle}{\left \| w_i \right \|^2}$.

בסך הכל, כיוון שאמרנו ש-$w$ הוא $\pi_B\left(v\right)$, נקבל את ההגדרה הנ"ל.

\end{proof}

\begin{remark}

$\pi_B\left(v\right)\in W$

\end{remark}