קוד:המשמעות הגיאומטרית של דטרמיננטה
נחזור לתהליך גראם-שמידט, $v_i'=v_i-\pi\left(v_i\right)$, כאשר $\pi$ היא העתקה ההטלה על תת-המרחב הנפרש על ידי $\left \{ v_1',\dots,v_{i-1}' \right \}$.
נסמן ב-$C$ את מטריצת המעבר מ-$\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ ל- $$\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$. לכן $C=\left ( \begin{matrix} 1 & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & 1 \end{matrix} \right )$$ ז"א ש-$C$ מטריצה משולשת עליונה, ועל האלכסון הראשי יש יחידות.
המעבר הבא - נרמול הבסיס $\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \}$ - מתואר על ידי המטריצה האלכסונית $$D=\left ( \begin{matrix} \frac{1}{\left \| v_1' \right \|} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \frac{1}{\left \| v_n' \right \|} \end{matrix} \right )$$
לכן, מעבר מבסיס $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ לבסיס אורתונורמלי מתואר על ידי המטריצה $DC$. תהי $G_B$ מטריצת הגראם של הבסיס $B$, אזי, לפי משפט שהוכחנו: $$I=\left(DC \right )^tG_B\overline{\left(DC \right )}=C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C}$$ נפעיל דטרמיננטה, ונקבל: $$\det I=\det\left (C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C} \right )$$ $$1=1\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot\det G_B\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot1$$ $$\det G_B=\left \| v_1' \right \|^2\cdots\left \| v_n' \right \|^2$$
\begin{corollary}
$$\det G_B\in\mathbb{R}_{\ge0}$$
\end{corollary}
\begin{definition}
יהי $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{R}$, נניח $\dim V=n$, ותהי $\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ קבוצת וקטורים. נגדיר \textbf{מקבילון} $P$ על ידי $$P=\left \{ \left.\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\right|0\leq\alpha_i\leq1 \right \}$$
\end{definition}
\begin{definition}
נניח ש-$B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, ונגדיר את \textbf{נפח המקבילון הנוצר על ידם} להיות $$\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}$$
\end{definition}
\begin{thm}
אם $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, נסמן $P$ המקבילון הנוצר על ידי $\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$, $S$ המקבילון הנוצר על ידי $\left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \}$, ו-$h=v_n-\pi_{\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \}}\left(v_n \right )$. אזי $$\operatorname{vol}\left(P \right )=\operatorname{vol}\left(S \right )\cdot\left \| h \right \|$$
\end{thm}
\begin{proof}
נסמן ב-$A$ את מטריצת המעבר מהבסיס $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ לבסיס $B'=\left \{ v_1,\dots,v_{n-1},h \right \}$. אזי $A$ היא מהצורה $$A=\left(\begin{matrix} 1 & & 0 & \star\\
& \ddots & & \vdots\\ & & 1 & \star\\ & & & 1
\end{matrix} \right )$$
מטריצת גראם יחסית לבסיס $B'$ היא $$G_{B'}=\left(\begin{matrix} M_{nn}\left(G_B\right )& 0\\ 0 & \left \| h \right \|^2 \end{matrix} \right )$$ כאשר $M_nn\left(G_B\right)$ מסמן את המינור ה-$n,n$ מ-$G_B$, כלומר $G_B$ בלי השורה ה-$n$-ית ובלי העמודה ה-$n$-ית (הצורה ככה כי $h$ מאונך לשאר הווקטורים). אם כן, $$\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left (\overline{A}G_{B'}A^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det G_{B'}\det A^t}=\sqrt{\det G_{B'}}=$$ $$=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )\left \| h \right \|^2}=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )}\left \| h \right \|=\operatorname{vol}\left(S \right )\left \| h \right \|$$
\end{proof}
\begin{thm}
אם $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$, ואם $E=\left \{ e_1,\dots,e_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי, נסמן ב-$E$ את מטריצת המעבר ביניהם. אזי $$\operatorname{vol}\left(P_B \right )=\left | \det A \right |$$
\end{thm}
\begin{proof}
$$\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left(\overline{A}G_EA^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det I\det A^t}=$$ $$=\sqrt{\overline{\det A}\det A}=\sqrt{\left | \det A \right |^2}=\left | \det A \right |$$
\end{proof}
