קוד:טורים

\subsection{מהו טור} \begin{definition} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר. \end{definition} \begin{example} דוגמה: הצגה עשרונית - $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} $ כש- $a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ . זה מתכנס משום שהסס"ח היא סדרת קושי. \end{example}

\subsection{תכונות בסיסיות של טורים} \begin{thm} נניח הטורים $ \sum_{n=1}^\infty a_n ,\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנסים אזי $$ \sum_{n=1}^\infty \alpha a_n+\beta b_n = \alpha\sum_{n=1}^\infty a_n+\beta \sum_{n=1}^\infty b_n$$ \end{thm}

\begin{proof} ישירות מאריתמטיקה של גבולות \end{proof}

\begin{thm}[מבחן קושי] הטור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ מתכנס אם ורק אם $$\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n>m>N}: \left |\sum_{k=m}^n a_k \right |<\epsilon $$ \end{thm}

\begin{proof} בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. \end{proof}

\begin{thm} אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $ (המשפט ההפוך לא נכון! ראינו שהטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שואף ל-0) \end{thm}

\begin{proof} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $ \end{proof} \begin{example} הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+\sqrt{n}+1}{2n+3} $ מתבדר כי האיבר הכללי שואף לחצי \end{example} \subsection{טורים עם איברים חיוביים} \begin{thm} $\sum_{n=1}^\infty a_n , \forall n: a_n\geq 0 $ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלעיל, כלומר $\exists C \forall n : s_n\leq C $ \end{thm} \begin{proof} נשים לב שהסס"ח היא סדרה מונוטונית עולה במקרה שכל איברי הטור חיוביים ולכן מתכנסת ל- $\sup$ שלה. אם היא חסומה מלעיל אז הסופרימום ממשי ואז הטור מתכנס, בעוד שאם היא לא חסומה זה אומר ששואפת לאינסוף ולכן הטור מתבדר. \end{proof}