קוד:משפט הפירוק הניצב

\begin{thm} משפט הפירוק הניצב

יהי $V$ מרחב מכפלה פנימית מעל $\mathbb{F}$ ממימד $n$. אזי לכל תת-מרחב $U\subseteq V$ מתקיים: $$V=U\oplus U^\perp$$

\end{thm}

\begin{proof}

נבחר ב-$U$ בסיס אורתונורמלי $\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$, ונשלים אותו עד בסיס אורתונורמלי $\left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \}$ של $V$. נתבונן ב-$\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$, ונוכיח שזה בסיס של $U^\perp$.

יהי $w\in\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$. $v_{k+1},\dots,v_n\in U^\perp$, ולכן $w\in U^\perp$.

בכיוון ההפוך, יהי $w\in U^\perp$. נרשום $w=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k+\alpha_{k+1}v_{k+1}+\cdots+\alpha_nv_n$, ונכפול (במובן מכפלה פנימית) עם $v_i$ עבור $i=1,\dots,k$.

אם כן, לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $0=\left \langle w,v_i \right \rangle=\alpha_i$, ולכן $w\in\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \}$.

מכאן נובע ש-$V=U+U^\perp$. נותר להוכיח $U\cap U^\perp=\left\{0\right\}$. יהי $w\in U$, $w\in U^\perp$. אזי $\left \langle w,w \right \rangle=0$, ולכן $w=0$.

בסך הכל, $V=U\oplus U^\perp$.

\end{proof}

\begin{remark}

אם $\dim U=k$, $\dim V=n$, אזי $\dim U^\perp=n-k$.

\end{remark}