קוד:פונקציות אלמנטריות

\begin{definition} נגדיר את $\operatorname{exp}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $ ונראה כי מוגדר היטב לכל $x\in\mathbb{R} $ משום שלפי מבחן השורש של קושי $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{n!}|}=|x|\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0 < 1 $ ומכאן שמתכנס. \end{definition}

\begin{thm} \begin{enumerate} \item \operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\operatorname{exp}(x+y)

\item \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)} \end{enumerate} \end{thm}

\begin{proof} \begin{enumerate} \item הטור מתכנס בהחלט ולכן אפשר להשתמש בכפל טורים:

$$\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \sum_{n+m=N} \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!} =$$ $$\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{n+m=N} \frac{N! x^n y^m}{n!m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (x+y)^N = \operatorname{exp}(x+y) $$ \item $$1=\operatorname{exp}(0)=\operatorname{exp}(x-x)=\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(-x) \Rightarrow \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)} $$ \end{enumerate}

\end{proof}

מכל האמור לעיל נסיק ש- $\operatorname{exp}(x)= a^x $ כאשר $a=\operatorname{exp}(1) $ אבל הוכחנו בעבר ש- $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= e $ ומכאן ש- $\operatorname{exp}(x)=e^x $ . נסיק מכך ש- $e^x>1 $ עבור $x>0 $ ו- $e^x<1 $ עבור $x<0 $

\begin{thm} $\operatorname{exp}(x) $ מונוטונית עולה ממש \end{thm}

\begin{proof} $$x<y \Rightarrow y-x>0 \Rightarrow \operatorname{exp}(y-x)=\frac{\operatorname{exp}(y)}{\operatorname{exp}(x)}>1 \Rightarrow \operatorname{exp}(y)>\operatorname{exp}(x) $$ \end{proof}

\begin{thm} $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 $ \end{thm}

\begin{proof} נשים לב ש- $e^x=1+x+o(x) , x\to 0 $ ולכן לפי הגדרה $$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1+x+o(x)_{x\to 0}-1}{x} = 1+\lim_{x\to 0} \frac{o(x)_{x\to 0}}{x} = 1+0=1 $$ \end{proof}

ממה שהוכחנו קודם ניתן להגדיר פונקציה הופכית ל- $e^x $:

\begin{definition} $\ln : (0,\infty) \to (-\infty,\infty) $ מוגדר להיות הפונקציה ההופכית של $e^x:(-\infty ,\infty) \to (0,\infty) $ . מכאן ניתן להוכיח כל מיני תכונות של הלוגריתם:

$\ln xy= \ln x + \ln y $

$\ln$ מונוטונית עולה ממש

$\ln 1 = 0 $

$\lim_{x\to \infty} \ln(x) = \infty , \lim_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty $

\end{definition}

\begin{thm} $\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $ \end{thm}

\begin{proof} $$ \lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \{x=\ln(1+t)\}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^x - 1} = 1 $$ \end{proof}

\begin{cor} $\ln(1+t)=t+o(t),t\to 0 $ \end{cor}

\begin{thm} $e^x,\ln(x) $ רציפות \end{thm}

\begin{proof} מספיק להוכיח ל- $e^x $ ואז מהמשפט שהוכחנו היום גם $\ln (x) $ בתור פונקציה הופכית לפונקציה רציפה תהיה גם רציפה. $$\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow $$ $$\lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $$ ומכאן ש- $e^x $ רציפה. \end{proof}

\begin{definition} נגדיר את $a^x=e^{x\ln a} $ ונראה כי זה רציף בתור הרכבה של רציפות. \end{definition}

\begin{thm} $\sin(x),\cos(x) $ רציפות. \end{thm}

\begin{proof} $$|\sin x - \sin x_0| =\left |2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}\right | \leq 2\left |\sin \frac{x-x_0}{2}\right |\leq 2\frac{|x-x_0|}{2}=|x-x_0|$$ ולכן $\lim_{x\to x_0} \sin x = \sin x_0 $ . עבור קוסינוס באופן דומה \end{proof}