קוד:קריטריון בסיסי ללכסון מטריצה

\begin{thm}[קריטריון בסיסי ללכסון מטריצה]

מטריצה $A$ לכסינה אם ורק אם יש ב-$F^{n}$ בסיס המורכב מוקטורים עצמיים של $A$.

אם $$P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\

& \ddots & \\

0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)$$ אזי איברי הבסיס הנ"ל הם עמודות המטריצה $P$.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Leftarrow}$] נניח שהמטריצה $A$ לכסינה, $$P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\

& \ddots & \\

0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)$$ נסמן $e_{1},\ldots ,e_{n}$ וקטורי היחידה. ניקח $i=1,\dots,n$, ונשים לב כי $$P^{-1}APe_{i}=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\

& \ddots & \\

0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\left ( \begin{matrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 0\\ \vdots\\ \lambda_i\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )=\lambda _{i}e_{i}$$ לכן $e_{i}$ ו"ע של $P^{-1}AP$ הקשור לע"ע $ \lambda _{i}$ ($A\sim P^{-1}AP$, לכן $\lambda _{i}$ ע"ע של $A$ ).

קיבלנו כי $$P^{-1}APe_{i}=\lambda _{i}e_{i}$$ נכפול ב-$P$ משמאל, ואז $$A(Pe_{i})=\lambda _{i}(Pe_{i})$$ נסמן $v_{i}=Pe_{i}$, לכן $$Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}$$ $$v_{i}=\left(\begin{matrix} | & & | \\ p_{1} & \cdots & p_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)$$

\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח שקיים בסיס $\left\{v_{1},\dots ,v_{n}\right\} $ המורכב מו"ע של $ A$. נוכיח ש-$A$ לכסינה. נגדיר $$P=\left(\begin{matrix} | & & | \\ v_{1} & \cdots & v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)$$ $Pe_{i}=v_{i}$, לכן $e_{i}=P^{-1}v_{i}$. נשים לב כי: $$AP=A\left(\begin{matrix} | & & | \\ v_{1} & \cdots & v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} | & & | \\ Av_{1} & \cdots & Av_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)$$ וכעת, נראה כי $$P^{-1}AP=P^{-1}\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=$$ $$=\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}P^{-1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}P^{-1}v_{n}\\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left ( \begin{matrix} \lambda_1 & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda_n \end{matrix} \right )$$ ולכן מצאנו מטריצה הפיכה $P$ כך ש-$P^{-1}AP$ אלכסונית, כדרוש.

\end{description}

\end{proof}

\begin{remark}

איברי האלכסון הראשי של מטריצה אלכסונית הם הערכים העצמיים שלה.

\end{remark}