קוד:קריטריון לנורמליות
ננסה כעת למצוא קריטריונים לנורמליות ולאוניטריות של אופרטור.
\begin{thm} קריטריון לנורמליות
אופרטור $T:V\rightarrow V$ הוא נורמלי אם ורק אם לכל $v\in V$ מתקיים $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|$.
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{\Leftarrow}$] נניח ש-$T$ נורמלי, אזי $TT^*=T^*T$. $$\left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T\left (v \right ),T\left (v \right ) \right \rangle=\left \langle v,T^*T\left(v \right ) \right \rangle$$ $$\left \| T^*\left(v \right ) \right \|^2=\left \langle T^*\left(v \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,\left(T^* \right )^*T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle v,TT^*\left(v \right ) \right \rangle$$
נקבל שוויון $\left \| T\left(v \right ) \right \|^2=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|^2$, ולכן $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|$.
\item[$\boxed{\Rightarrow}$] נניח שלכל $v\in V$, $\left \| T\left(v \right ) \right \|=\left \| T^*\left(v \right ) \right \|$.
נוכיח קודם שלכל $u,v\in V$, מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$. ניעזר בזהות הפולרית: $$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+T\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+iT\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )$$
לפי אותם החישובים ל-$T^*$, $$\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=$$ $$=\frac{1}{2}\left(\left \| T^*\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T^*\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T^*\left(v \right ) \right \|^2 \right )$$
נקבל שלכל $u,v\in V$, מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$. מצד שני, על פי הגדרת ההעתקה הצמודה, מתקיים $$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle$$ $$\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle$$
לכן $\left \langle u,T^*T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,TT^*\left(v \right ) \right \rangle$ לכל $u,v\in V$.
כלומר, לכל $u,v\in V$ מתקיים $\left \langle u,T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right ) \right \rangle=0$.
נבחר $u=T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right )$. לפי האי-שליליות, נקבל $T^*T\left(v \right ) -TT^*\left(v \right )=0$ לכל $v\in V$, כלומר $T^*T-TT^*=0$ אופרטור האפס, לכן $T^*T=TT^*$, כלומר $T$ נורמלי.
\end{description}
\end{proof}
