נוכיח קודם שלכל $u,v\in V$, מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$. ניעזר בזהות הפולרית:
$$\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=$$$$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+T\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u \right )+iT\left(v \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\left \| T\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T\left(v \right ) \right \|^2 \right )$$
לפי אותם החישובים ל-$T^*$,
$$\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle=$$$$=\frac{1}{2}\left(\left \| T^*\left(u + v \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (u \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left (v \right ) \right \|^2 \right )+\frac{i}{2}\left(\left \| T^*\left(u+iv \right ) \right \|^2-\left \| T^*\left(u \right ) \right \|^2-\left \|T^*\left(v \right ) \right \|^2 \right )$$
נקבל שלכל $u,v\in V$, מתקיים $\left \langle T\left(u \right ),T\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle T^*\left(u \right ),T^*\left(v \right ) \right \rangle$. מצד שני, על פי הגדרת ההעתקה הצמודה, מתקיים