קוד:תכונות המאפס
\begin{remark}
תכונות המאפס:
\begin{enumerate}
\item $S^0\subseteq V^*$ הוא תת-מרחב.
\begin{proof}
אם $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$, ואם $\varphi_1,\varphi_2\in S^0$, אזי לכל $v\in S$ מתקיים $$\left(\alpha\varphi_1+\beta\varphi_2 \right )\left(v \right )=\alpha\varphi_1\left(v \right )+\beta\varphi_2\left(v \right )=0$$
\end{proof}
\item $S^0=\left (\operatorname{Span}S \right )^0$
\begin{proof}
נוכיח באמצעות הכלה דו-כיוונית.
\begin{description}
\item[$\boxed{\supseteq}$] ההכלה הזו ברורה, כי אם $\varphi\in\left (\operatorname{Span}S \right )^0$, אזי לכל $v\in\operatorname{Span}S$ מתקיים $\varphi\left(v\right)=0$, ובפרט זה נכון עבור $v\in S$.
\item[$\boxed{\subseteq}$] יהי $\varphi\in S^0$, ויהי $v\in\operatorname{Span}S$. נסמן $v=\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k$, כאשר $v_1,\dots,v_k\in S$. אזי $$\varphi\left(v \right )=\varphi\left(\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_kv_k \right )=\alpha_1\varphi\left(v_1 \right )+\cdots+\alpha_k\varphi\left(v_k \right )=0$$ וקיבלנו הדרוש.
\end{description}
\end{proof}
\item אם $U\subseteq V$ תת-מרחב, אזי $\dim U+\dim U^0=\dim V$.
\begin{proof}
ניקח בסיס $B'=\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}$ של $U$, ונשלים אותו לבסיס $B=\left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \}$ של $V$. נסמן $B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$ הבסיס הדואלי של $B$. נסתכל על הפונקציונלים $\left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \}$, ונוכיח שהם בסיס של $U^0$. לצורך כך, נוכיח שהם קבוצה בת"ל ופורשת.
הם בבירור בת"ל, כחלק מבסיס.
נוסיף להם פונקציונל $\psi=\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n\in U^0$. אזי לכל $i=1,\dots,k$ נקבל $$0=\psi\left(v_i \right )= \alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_n \right )}_{0}=\alpha_i$$ ולכן $\psi$ נפרש על ידי $\left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \}$.
לסיכום, נקבל $$\dim U+\dim U^0=\left|B'\right|+\left | \left \{ \varphi_{k+1},\dots,\varphi_n \right \} \right |=k+\left(n-k \right )=n=\dim V$$
\end{proof}
\item לכל $U\subseteq V$ תת-מרחב, $U^{00}=E\left[U \right ]=\left \{ \hat{u}\mid u\in U \right \}$.
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{\subseteq}$] יהי $v\in E\left[U\right]$, אזי קיים $u\in U$ שעבורו $\hat{u}=E\left(u\right)=v$. יהי $\varphi\in U^0$ פונקציונל לינארי. אזי $\hat{u}\left(\varphi \right )=\varphi\left(u \right )=0$, ולכן $v=\hat{u}\in U^{00}$.
\item[שוויון מימדים] לפי תכונה 3, $\dim U+\dim U^0=\dim V$, אבל גם $\dim U^0+\dim U^{00}=\dim V$. לכן, המימדים שלהם שווים; \dim U=\dim U^{00}$. איזומורפיזם שומר על המימד, ולכן $\dim U=\dim E\left[U\right]$. בסך הכל, $\dim U^{00}=\dim E\left[U\right]$.
\end{description}
הוכחנו הכלה ושוויון מימדים, ולכן יש שוויון.
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
