קוד:תכונות של ההעתקה הצמודה
מהמשפט הנ"ל, נוכל להיעזר בידע שלנו על מטריצות ולחשב העתקות צמודות של סכום, כפל בסקלר, הכפלה וכו'. ניתן לחשב זאת גם ישירות, אך נוח יותר להיעזר במטריצות.
\begin{corollary}
יהיו $T,T':V\rightarrow W$ ו-$S:W\rightarrow U$ העתקות לינאריות. אזי:
\begin{enumerate}
\item הרכבה: $\left ( S\circ T \right )^*=T^*\circ S^*$.
\item העתקה צמודה של העתקה צמודה: $\left(T^* \right )^*=T$.
\item חיבור וכפל בסקלר:
\begin{enumerate}
\item חיבור: $\left(T+T' \right )^*=T^*+\left(T' \right )^*$.
\item כפל בסקלר: $\left(\alpha T \right )^*=\overline{\alpha}T^*$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{proof}
נבחר בסיסים אורתונורמליים בכל המרחבים ונשתמש במטריצות המייצגות של ההעתקות יחסית לבסיסים האלו. נשתמש במשפט הקודם.
\begin{enumerate}
\item תהיינה $A,A'$ המטריצות המייצגות של $T,S$ בהתאמה; $\left(AA' \right )^*=\left(A' \right )^*A^*$.
\item $\left(A^* \right )^*=A$.
\item
\begin{enumerate}
\item $\left(A+A' \right )^*=A^*+\left(A' \right )^*$.
\item כפל בסקלר: $\left(\alpha A \right )^*=\overline{\left(\alpha A \right )}^t=\overline{\alpha}\overline{A}^t=\overline{\alpha}A^*$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
