הבדלים בין גרסאות בדף "קמירות"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שוו...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
| − | תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת | + | תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . אם קיימת סביבת <math>a</math> עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה <math>a</math> , אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מעלה''' ב- <math>a</math> . |
| − | באופן דומה, אם קיימת | + | באופן דומה, אם קיימת סביבת <math>a</math> עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה <math>a</math> , אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מטה''' ב- <math>a</math> . |
| שורה 8: | שורה 8: | ||
==תנאי מספיק== | ==תנאי מספיק== | ||
| − | אם f גזירה פעמיים ברציפות בנקודה a, והנגזרת | + | אם <math>f</math> גזירה פעמיים ברציפות בנקודה <math>a</math> , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- <math>a</math> . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע. |
| − | + | ;הוכחה | |
| − | + | לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה: | |
| + | :<math>f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> | ||
| − | מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-a קיימת | + | מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- <math>a</math> קיימת סביבת <math>a</math> עבורה לכל <math>c</math> מתקיים <math>f''(c)>0</math> . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית. |
גרסה אחרונה מ־06:18, 14 בפברואר 2017
הגדרה
תהי 
פונקציה ממשית הגזירה בנקודה 
. אם קיימת סביבת עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- .
באופן דומה, אם קיימת סביבת עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב- .
(ראו גם נקודת פיתול.)
תנאי מספיק
אם גזירה פעמיים ברציפות בנקודה , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.
- הוכחה
לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- קיימת סביבת עבורה לכל 
מתקיים 
. באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.
