גרסה מ־15:30, 21 בפברואר 2012

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

תוכן עניינים

1 הוספת שאלה חדשה
2 ארכיון
3 שאלות

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

שאלות

איך מוכיחים שאין טור שמתבדר הכי לאט

כלומר לכל טור חיובי $\sum a_n$ שמתבדר קיים טור $\sum b_n$ מתבדר כך ש: $\frac{b_n}{a_n}\to 0$

בדומה למשפט רימן, ניתן "לדחוס" ו"לפזר" את האיברי הסדרה על מנת לקבל סדרה המתכנסת יותר מהר לאפס, שהטור עליה עדיין מתבדר. למשל אפשר את האיבר הראשון לחלק ל10 ולהפוך אותו לעשרה איברים, את האיבר הבא לחלק ב100 ולהפוך אותו למאה איברים וכן הלאה. (זה לא אלגוריתם מלא כמובן) --ארז שיינר

אבל הסדרה $a_n$ לא בהכרח יורדת

איך מוכיחים את מבחן ראבה

נראה לי לא הוכחנו אותו בכיתה

לא חשבתי על זה האמת, זה פשוט משפט ידוע --ארז שיינר

מבחן

מותר להשתמש במבחן במשפטים ממערכי התרגול/ התרגולים שלא הזכרנו בהרצאה? לגבי המשפטים וההוכחות שבאתר, לא את כולם צריך לדעת נכון? בהרצאה אמרו פחות

זו שאלה למרצים, והמשפטים הם לפי מה שהמרצים אמרו. המשפטים באתר לא קשורים לזה באופן ישיר, פשוט השתדלנו לשים גם את מה שחייבים להוכיח. אני חושב שהדבר היחיד במערכי התרגול שלא מההרצאה הוא מבחן ראבה, לא? --ארז שיינר

יש משפטים על רציפות במ"ש למשל שאם פונקציה רציפה במ"ש בכמה קטעים אז היא רציפה באיחוד שלהם ואם אני לא טועה גם זה שמכך שהנגזרת חסומה

המשפטים האלה מההרצאה עד כמה שאני יודע. --ארז שיינר

בקשר לגבולות של סדרות

אם יש לי סדרה An של חיוביים ומצאתי סדרה Bn>An ששואפת לאפס האם גם An תשאף ל-0 אם כן למה?

חוק הסנדביץ.

0\leq a_n \leq b_n

--ארז שיינר

חזרה על התרגילים

בתרגיל 3 שאלה 4 סעיפים א,ב,ג

האם יש קשר בין an כלומר איברי הסדרה an1 an2.....

ל a אליו הוא שואף?? תודה

לא, זה פשוט סימון לגבול. אפשר להחליף באות אחרת כמו L --ארז שיינר

גבול החסמים העליונים

האם מכך שידוע שגבול החסמים העליונים הוא מספר ממש נובע שהסדרה חסומה מלעיל?

אני מניח שהכוונה לגבול החסמים העליונים כאשר מחסירים איברים מהסדרה. ברגע שיש חסם עליון ממשי החל משלב מסוים זה אומר שהסדרה חסומה על ידי המקסימום בין החסם העליון הזה לבין כל האיברים שנזרקו --ארז שיינר

פתרונות למבחנים

אם אני אכתוב את הפתרונות של מבחנים שונים עם Latex ב-Word, תעלו את קובץ הוורד של הפתרונות שלי לאתר?

אם אתה כותב latex למה שלא תכתוב באתר? פתרונות באתר טובים בהרבה כיוון שקל לתקן אותם --ארז שיינר

אני כותב בעזרת [1] והאתר משום מה תמיד כותב לי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג), דוגמא: $[a_n=S_{n-1} \Delta ^ 2]$ הבעיה העיקרית היא לרדת שורה, כי אני יכול רק עם שורת הקוד $a _ n=S _ {n-1} \Delta ^ 2$ ללא שימוש בתרגום ללייטקס, אבל זה עובד רק אם זאת שורה אחת, משום מה זה לא קורא את ה'\\'.

קראתי חלק מ-[2] אבל לא מצאתי איך לתקן את השגיאה הזאת... ⊙_☉ מהו הקוד של ירידת שורה?

(לא ארז) הקוד הוא \\ , אבל כמו שאמרת יש בעיה בו פה.

איך עשית את ה'עיניים' בסמיילי?

תרדו שורה באופן הפשוט ביותר- תפתחו נוסחא חדשה ותכתבו אותה למטה. סה"כ הויקי אינו מסמך לאטך, אלא הוא מאפשר לכתוב נוסחאות בודדות בלאטך. תקנתי למשל את הבעייה שהוצגה לעיל, הסלאש סוגר מרובע היה מיותר. יש כמה הבדלים קטנים מלאטך, אבל הם לא משמעותיים כפי שאתם יכולים לראות במערכי התרגול שכולם כתובים בפורמט ויקי. --ארז שיינר

איך מוכיחים שפונקציה קמורה רציפה?

כלומר אם מתקיים $\forall 0\leq t\leq 1,x,x_0 \colon f((1-t)x+t(x_0))\leq (1-t)f(x)+tf(x_0)$

נניח בשלילה כי היא אינה רציפה, לכן לפי היינה יש לה גבולות שונים על סדרות שונות. בעזרתן תוכל לסתור את הקמירות --ארז שיינר

ואם זו אי רציפות סליקה, אזי או שהערך בנקודה גבוה מהגבול וזו סתירה לקמירות, או שהוא נמוך ואז ערכים הקרובים אליו סותרים את הקמירות אם מותחים מהערך בנקודה קו לנקודות באיזור --ארז שיינר

מתי השיעורי חזרה?

תודה

$Sumx^2$

תרגיל 12 שאלה 2 C

הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים השוויון הבא:

$\frac{-1}{2\sqrt\frac{x+1}{x-1}}\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$

יש שם טעות. --מני 18:27, 15 בפברואר 2012 (IST)

תודה רבה

תרגיל 12 שאלה 3 a

שוב הפתרון לא מובן לי. כיצד מתקיים:

$2^{x^{e}}=e^{log2^{x^{e}}}$

זה לא אמור להיות:

$2^{x^{e}}=e^{ln2^{x^{e}}}$

הסימון

\log(x)

משמש לעיתים (וגם בתרגיל זה) תחליף ל

\ln

כלומר ללוגריתם בבסיס

e

. לפעמים הוא משמש כלוגריתם בבסיס 10 (לא הפעם). אין טעות בפתרון במקרה זה. --מני 18:32, 15 בפברואר 2012 (IST)

תודה רבה

שיעורי חזרה

1)כדאי לתיכוניסטים להגיע לשיעורי החזרה של הבוגרים?

2)כדאי למי שיגיע ללואי להגיע גם למני?

הבהרה

שיעורי החזרה של לואי ומני מיועדים רק לסטודנטים שלנו ולא לתיכוניסטים (וזאת מכיוון שאנו רוצים למנוע קבוצות גדולות מדי)

יש להגיע רק לאחד מאיתנו, שכן אנחנו פותרים בדיוק את אותם התרגילים. --לואי 14:22, 16 בפברואר 2012 (IST)

אבל זה ממש נוח לנו.. שיעור החזרה שלנו נגמר בדיוק כששלך מתחיל :(

מבנה המבחן

מה מבנה המבחן? כמה זמן הוא?

אריתמטית של גבולות

אם סדרה אחת שואפת לאינסות והחארת לאפס, למה שואפת המנה שלהן? לגבי טורים, האם טור מתבדר פחות טור מתכנס, מתבדר? מה לגבי ההיפך?

אם הסדרה ששואפת לאפס שואפת לאפס דרך ערכים חיוביים (מה שהיינו מגדירים בפונקציות שאיפה מימין) אז

המנה של השואפת לאפס חלקי זאת ששואפת לאינסוף (אני מתכוון לפלוס אינסוף) תשאף לאפס והמנה ההפוכה תשאף לאינסוף.

אם השאיפה לאפס היא דרך ערכים שליליים אז המנות ישאפו לאפס ולמינוס אינסוף בהתאמה.

יכול להיות מצב שאחת המנות לא תשאף לגבול. למשל: אינסוף חלקי סדרה ששואפת לאפס אבל נניח שמשנה סימן ואז הגבול של האינסוף חלקי הסדרה ששואפת לאפס לא יהיה קיים. כי יהיו שתי תתי סדרות ששואפת לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף.

טור מתבדר פחות מתכנס הוא בהכרח מתבדר. כי נניח בשלילה שהוא מתכנס אם נחבר לטור שחיסרנו שנתון שהוא מתכנס נקבל טור מתכנס בסתירה לכך שהטור שממנו חיסרנו היה מתבדר.

מתכנס פחות מתבדר גם כן מתבדר משיקולים דומים. --מני 13:06, 17 בפברואר 2012 (IST)

ערכים של טורים

האם צריך לזכור למבחן ערכים של טורים מסויימים?(לכמה הטור שווה ) אם כן אלו ?(לדוגמה הטור ההרמוני המתחלף)

בפתרון של מבחן משנה שעברות כתוב: קל לראות ש bn+1/bn שואף לאינסוף ולכןbn שואף לאינסוף. למה? מה מייצג הסימן f בחזקת -1. חשבתי שאחד חלקי הפונקציה אבל לפי פתרון המחבן משנה שעברה (שאלה 7) ניראה כאילו גוזרים אותה בתור הפונקציה ההפוכה לf

עדיף לשאול 3 שאלות מנושאים שונים בנפרד ולא תחת נושא אחד. בכל מקרה:

לגבי השאלה הראשונה- לא. אין צורך. לגבי השאלה השלישית- הסימון מייצג את הפונקציה ההפוכה.

שאלה שניה- $b_n>1$ ולכן $b_{n+1}>b_{n+1}/b_n$ לכן אם $b_{n+1}/b_n$ שואף לאינסוף אז כך גם $b_{n+1}$ (ולכן גם $b_{n}$ ) --מני 20:07, 18 בפברואר 2012 (IST)

נגזרת ורציפות

אם f גזירה פעמיים ב[a,b] אז הנגזרת רציפה בקטע הסגור הזה?

כן. באופן כללי גזירות בנקודה גורררת רציפות בנקודה. כמו כן גזירות ימנית (שמאלית) גוררת רציפות מימין (משמאל בהתאמה).--מני 20:09, 18 בפברואר 2012 (IST)

הגדרת החזקה - שיעור ראשון

איך מוכיחים ש $\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m$ ?

נניח שהם שונים, נעלה את שניהם בחזקת n ונקבל סתירה, לפי החוק

(a^n)^m=(a^m)^n

(אותו קל להוכיח) --ארז שיינר

ציין אם זה נכון: בגלל ש

n,m

הם מספרים טבעיים, נקבל שכל אחד מהאגפים שווה לפי עקרון הכפל הקומבינטורי ל

a^{nm}

, ולכן לאחר ההנחה בשלילה נקבל

\sqrt[n]{x^m}\neq (\sqrt[n]{x})^m \Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^m )^n\Rightarrow {x^m}\neq ((\sqrt[n]{x})^{mn}= ((\sqrt[n]{x})^n)^m=x^m

בסתירה.

כן. וזה נובע מכך שמספרים חיוביים שונים בחזקה חיובית נותנים תוצאה שונה, גם את זה קל להוכיח באינדוקציה - הגדול יהיה גדול יותר. --ארז שיינר

היינה באינסןף

אם $\lim f(x)$ באינסוף הוא L, זה אומר לפי היינה שגם $lim f(n^2-nln(n))=L$ ,נכון?

נכון. --מני 12:58, 19 בפברואר 2012 (IST)

מבחן תשנ"ט שאלה 2ג.

במבחן כתוב $\frac{1}{log\frac{1}{n}}$ כאשר n מ-1 עד אינסוף. ב-1 הביטוי לא מוגדר.

נכון. בימים אלה אנחנו חוגגים בר מצווה לטעות. --מני 19:36, 19 בפברואר 2012 (IST)

זאת תשובה ממש משעשעת :) (my work here is done!)

גבולות

אם סדרה an שואפת למספר טבעי ממשי מ0 וסדרת bn שואפת ל0 דרך החיוביים. an/bn שואפת לאינסוף? או שבמנה חייב להיות מספר ממשי ולא משהו ששואף אליו?

מה הכוונה למספר ממשי "מאפס"? כלומר מהצד שקרוב יותר לאפס? בכל מקרה הגבול הזה אכן יהיה אינסוף --ארז שיינר

דוגמה 2 לטורים חיוביים

יש טעות במכנה כשמפתחים את המנה של אברים עוקבים.

מוזמן לתקן. --ארז שיינר

תיקנתי.

0^0

יש דוגמה לגבול מהצורה $0^0$ ששואף ל2?

2\cdot \Big(\frac{1}{n}\Big)^{\frac{1}{n}}

--ארז שיינר

לא לזה התכוונתי... רציתי שכל הביטוי יהיה רק חזקה ומעריך, כלומר שהוא יהיה מהצורה

0^0

בלבד. באותה המידה יכולת להוסיף 1.

\Big(\frac{1}{n2^n}\Big)^{-\frac{1}{n}}

ככה? (: --ארז שיינר

כן, תודה! פשוט להכניס את ה2 לבסיס... (

\Big(\frac{1}{2^n}\Big)^{\frac{1}{n}}

זאת דוגמה יפה יותר, כי אז הביטוי יהיה קבוע למרות הצורה

0^0

)

דוגמה 3 לטורים חיוביים

[[3]] התכוונתם לרשום שלפחות שני שלישים, כנראה. מה שכתוב כרגע נכון רק לn ששקול ל0 מודולו 3.

נוסף על כך, ההתקדמות קצת מהירה מדי (עבורי) שם - כדאי להוסיף הסבר מילולי נוסח

"נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ $\frac{n}{3}$ , ומכיוון שיש לפחות $\frac{2}{3}n$ כאלה נקבל ש

$n!=1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor *(\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1)*...*n \geq 1*2*..*\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor*(\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)} \geq (\frac{n}{3})^{(\frac{2}{3}n)}$

ומכיוון ששני האגפים חיוביים ניתן להעלות בריבוע."

דוגמה 5 לטורים חיוביים

הוכחת האינדוקצייה נראית לי שגוייה. (מה שכתוב שם לא הגיוני)

צריך להיות פשוט $\frac{b_{n+1}}{b_1}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{b{n}}{b_1}\geq \frac{a_{{n+1}}}{a_n} \frac{a_{n}}{a_1}=\frac{a_{n+1}}{a_1}$ (א"ש ראשון לפי הנתון, שני לפי הנחת האינ')

תוקן --ארז שיינר

טעויות במדמ"ח 11 שאלה 4

בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.

שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008

בשאלה כתוב הגבול של הסדרה $\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}$ . אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?

@@ שורה 233: / שורה 233: @@
 בסעיף ב' יש טעות טריגונומטרית, בסעיף ד' המעבר האחרון שגוי.
+== שאלה 1 א במבחן שהיה ב-2008 ==
+בשאלה כתוב הגבול של הסדרה <math>\lim_{n\to \infty }\sqrt{n-\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt[3]{n}}</math>. אפשר רמז לפתרון הגבול הזה?

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב"