שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

שאלה 1

"סכום וכפל בקבוע של רציפות במ"ש - רציף במ"ש"

יש לציין שנובע מזה שגם חיסור של רציפות במ"ש רציף במ"ש (כי זה כמו לכפול פונקציה אחת בקבוע 1- ואז לחבר ביניהן), לא ?

אני לא חושב שיש צורך לציין, זה נכון. --ארז שיינר

שאלה לגבי הפתרון של תרגיל 1 בדוגמאות

• $f(x)=xsinx$ בקטע $(0,\infty)$

פתרון. הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות:

$x_n=\frac{1}{n}+2\pi n$

$y_n=2\pi n$

מתקיים

$x_n-y_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0$

אבל

$f(x_n)-f(y_n)=(\frac{1}{n}+2\pi n)sin\Big(\frac{1}{n}+2\pi n\Big)\rightarrow 2\pi$

שכן

$nsin\Big(\frac{1}{n}\Big)=\frac{sin\Big(\frac{1}{n}\Big)}{\frac{1}{n}}\rightarrow 1$

איך הגענו לגבול הזה ($2\pi$) ? למרות השורה "שכן.." זה לא ברור.

$(\frac{1}{n}+2\pi n)sin\Big(\frac{1}{n}+2\pi n\Big)\rightarrow 2\pi=\frac{1}{n}sin(\frac{1}{n})+2\pi\Big[nsin(\frac{1}{n})\Big]$

המחובר הראשון הוא שואפת לאפס כפול חסומה, וה$2\pi n$ בתוך הסינוס התבטל כי זו המחזוריות של הסינוס. --ארז שיינר