פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
== תרגיל ==
תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math>
הוכחה:
(<math>\subseteq</math>) יהא <math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> צ"ל באיברי <math>A</math> אזי <math>Tv\in T(span(A))</math> הוא איבר כללי.
כעת <math>Tv=\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i </math> שזה צ"ל באיברי <math>T(A)</math> ולכן שייך ל <math>spanT(A)</math>
(<math>\supseteq</math>) יהא צ"ל באיברי <math>T(A)</math> אזי הוא מהצורה <math>\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i</math> כאשר <math>v_i\in A</math>
מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math>
'''מסקנה''' לכל תת מרחב '''W\leq V''' מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב.
=== תרגיל ===
יהיו <math>V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2}</math> והמישור
<math>U=\{\mbox{\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right):}x+y+z=0\}
=
span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
-1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array}\right)\}
\leq V</math>
מצא ה"ל <math>T:V\to W</math> כך ש <math>kerT=U</math> וגם
<math>ImT=span(\{\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)\})</math>