שינויים

יהיו <math>v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3</math> עוד יהיו  <math>w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2</math> האם קיימת ה"ל <math>T:\nathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tv_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? פתרון: אם <math>v_1,v_2,v_3</math> היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל... <math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 4 \\3 & 1 & 7 \\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\0 & -1 & 2 \\0 & -2 & 4 \\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}</math> מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> לכן גם אם נפעיל את ה"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3TV_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math> ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה.