בקבוצה זאת יש אכן <math>(n^2-n)+(n-1)=n^2-1</math> מטריצות בת"ל
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> ה"ל. הוכח שהבאים שקולים
1. <math>KerT = KerT^2</math>
2. <math>ImT^2 = ImT</math>
3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>
פתרון:
ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי
<math>\dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2</math>
ולכן <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אמ"מ <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math>
אם <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)
אם <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>KerT \subseteq KerT^2</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)
ולכן 1. ו 2. שקולים.
נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3.
<math>3 \Leftarrow 1</math>
נראה כי הסכום '''ישר''': יהא <math>v\in KerT\cap ImT </math> אזי <math>(\exists w: Tw=v)\land Tv=0</math> ואז <math>T^2w=Tv=0</math> ולכן <math>w\in KerT^2=KerT</math>
ומכאן ש <math>v=Tw=0</math> כנדרש.
'''סכום''': לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי
<math>\dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V</math>.
כיוון ש <math>KerT+ ImT\subseteq V</math> מאותו מימד נקבל שיוויון
<math>3 \Rightarrow 1</math>
מ"ל כי <math>KerT^2 \subseteq KerT</math>. יהא <math>v\in KerT^2</math> אזי מצד אחד <math>Tv\in KerT</math> ומצד שני (לפי הגדרה) <math>Tv\in ImT</math>
לכן <math>Tv\in KerT\cap ImT=\{0\}</math> ולכן <math>Tv=0</math> כלומר <math>v\in KerT</math> כנדרש
== הפיכות ואיזמורפיזם ==