שינויים

1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>

</math>

יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי הע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>

תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>

תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל.

#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\leq V</math>

# יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math>

תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל.

אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math>

תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי

# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math>

# נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.

# נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.

<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע?

פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.

<math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על?

פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.

תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math>

מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math>

=== תרגיל ===

כנדרש.

תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>

נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצא בסיס לגרעין העתקה.

<math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>.

3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>

ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי

ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש הע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math>

<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל

# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>

# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי הע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>

כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים <math>V,W</math> זה פשוט יהיה <math>T_{B'}^{-1}T_B</math> כאשר <math>B</math> בסיס ל <math>V</math> ו- <math>B'</math> בסיס ל <math>W</math>

<math>\mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} </math>