=העתקות לינאריות (ההע"ל)=
'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ה"ל היא פונקציה <math>T:V\to W</math> היא הע"ל אם
# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>
# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
==דוגמאות ==
1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ההע"ל.
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים
2. ההעתקה <math>V=trace:\mathbb{F}^{n\times n},\,W=to \mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ההע"ל.
הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
3. ההעתקה <math>V=D:\mathbb{R}_{n}[x],\,W=to \mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math> המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא ההע"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות <math>I:V\to V</math> המוגדרת <math>v\mapsto v</math> היא ההע"ל.
5. העתקת האפס <math>0:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto 0</math> היא ההע"ל.
6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math>
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ההע"ל.
=== דוגמאות נגדיות ===
אזי העתקה <math>f:V\to W</math> המוגדרת
<math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v</math>
אינה ההע"ל.
כי למשל
</math>
=== תרגיל ===יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי ההע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>
הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math>
וקטורים כלשהם.
אזי קימת ההע"ל יחידה <math>T:V\to W</math> כך ש <math>T(v_{i})=w_{i}</math> לכל <math>i</math>
'''מסקנה''' ניתן להגדיר ההע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל '''V'''
===דוגמאות ===
==== דוגמא 1.====<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה'''ההע"ל <math>T:V\to V</math>
המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math>
שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math>
=a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math>
==== דוגמא 2.====יהיו <math>v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmtarixpmatrix},v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3</math> עוד יהיו <math>w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2</math> האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tv_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? פתרון: אם <math>v_1,v_2,v_3</math> היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל... <math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 4 \\3 & 1 & 7 \\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\0 & -1 & 2 \\0 & -2 & 4 \\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}</math> מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> לכן גם אם נפעיל את הע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math> ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה. #מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות <math>u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3</math>?האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tu_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? #מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ? תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>
== הגדרותגרעין, תמונה ודרגה==תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל.#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>kerT\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\subset leq V</math>#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImgTImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\subset leq W</math>#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImgTImT)</math>
=== דוגמאות ===
# <math>kerT=N(A)</math>
# <math>ImT=C(A)</math>
# <math>rankT=rankA</math>
2.
# <math>ImT=\mathbb{F}^n</math>
== משפט = תרגיל ===תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח# <math>KerT \subseteq KerT^2</math># <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>
פתרון:# יהא <math>v\in KerT</math> אזי <math>Tv=0</math> ולכן <math>T^2v=T(Tv))=T0=0</math>. כלומר <math>v\in KerT^2</math># יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math> === משפט === תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל.
אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math>
==== תרגיל: ====
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי
# אם <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל אז <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל
# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math>
=====הוכחה=====
# נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.
# נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.
==== תרגיל ====
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
==== תרגיל ====
<math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math>
מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math>
'''מסקנה:''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב.
=== תרגיל ===
כנדרש.
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> ההע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>
הוכחה:
נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס ל <math>B</math> ל -<math>W</math>, אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס
ואז <math>\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)</math>
== משפט הדרגה ==
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל. אזי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV</math>
'''הערה''': שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> ומשפט <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math> (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
=== תרגיל ===
נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצt מצא בסיס לגרעין העתקה.
====פתרון:====
<math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>.
בקבוצה זאת יש אכן <math>(n^2-n)+(n-1)=n^2-1</math> מטריצות בת"ל
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים:
1. <math>KerT = KerT^2</math>.
2. <math>ImT^2 = ImT</math>.
3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>.
====פתרון:====
ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי
<math>\dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2</math>
ולכן <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אמ"מ <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math>
אם <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)
אם <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>KerT \subseteq KerT^2</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)
ולכן 1. ו 2. שקולים.
נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3.
<math>3 \Leftarrow 1</math>
נראה כי הסכום '''ישר''': יהא <math>v\in KerT\cap ImT </math> אזי <math>(\exists w: Tw=v)\land Tv=0</math> ואז <math>T^2w=Tv=0</math> ולכן <math>w\in KerT^2=KerT</math>
ומכאן ש <math>v=Tw=0</math> כנדרש.
'''סכום''': לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי
<math>\dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V</math>.
כיוון ש <math>KerT+ ImT\subseteq V</math> מאותו מימד נקבל שיוויון
<math>3 \Rightarrow 1</math>
מ"ל כי <math>KerT^2 \subseteq KerT</math>. יהא <math>v\in KerT^2</math> אזי מצד אחד <math>Tv\in KerT</math> ומצד שני (לפי הגדרה) <math>Tv\in ImT</math>
לכן <math>Tv\in KerT\cap ImT=\{0\}</math> ולכן <math>Tv=0</math> כלומר <math>v\in KerT</math> כנדרש
== הפיכות ואיזמורפיזם ==
ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש ההע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math>
'''===משפט'''===
<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל
(שימו לב שידוע ש'''פונקציה''' חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה '''הפונקציה''' היא ההע"ל)
'''===תכונות'''===
# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>
# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי הע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>
# אם ה"ל <math>L_A(v)=Av</math> הפיכה אז ההופכית היא <math>L_{A^{-1}}</math>
=== איזומורפיזם ===
'''הגדרה''' ההע"ל <math>T:V\to W</math> תקרא
# מונומורפיזם אם <math>T</math> חח"ע
# אפימורפיזם אם <math>T</math> על
(<math>\Rightarrow</math>) נבחר בסיס <math>B</math> עבור <math>V</math>. מהנתון, קיימת <math>T:V\to W</math> הפיכה. לכן <math>|B|=|T(B)|</math> ובנוסף, <math>T(B)</math> בסיס ל <math>W</math>. זה אומר שהמימדים שווים.
(<math>\Leftarrow </math>) נבחר <math>B=\{v_1,\dots, v_n\}, B'=\{w_1,\dots , w_n\}</math> בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר <math>T:V\to W</math> ע"י <math>Tv_i=w_i</math>. במקרה זה <math>T</math> ההע"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים.
'''הערה''' אפשר למצוא את איזו' בצורה מפורשת ע"י הצגה לפי בסיס
כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים <math>V,W</math> זה פשוט יהיה <math>T_{B'}^{-1}T_B</math> כאשר <math>B</math> בסיס ל <math>V</math> ו- <math>B'</math> בסיס ל <math>W</math>
====דוגמא====
<math>\mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} </math>