#מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות <math>u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3</math>?האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tu_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? #מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ?
תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math>
הוכחה:
נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס ל <math>B</math> ל -<math>W</math>, אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס
ואז <math>\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)</math>
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים: 1. <math>KerT = KerT^2</math>. 2. <math>ImT^2 = ImT</math>.
1. <math>KerT = KerT^2</math>2. <math>ImT^2 = ImT</math>3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>.
====פתרון:====