הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1/פתרון"

גרסה מ־13:42, 14 בנובמבר 2012

פתרון לתרגיל 1

תוכן עניינים

1 1
- 1.1 א
- 1.2 ב
- 1.3 ג
2 2

1

נחשב את הפולינום האופייני ונמצא את השורשים שלו, הם הערכים העצמיים. לכל ערך עצמי נחשב את המרחב העצמי המתאים לו.

א

$p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x-2\end{pmatrix} = (x-1)^2(x-2)$

ולכן הערכים העצמיים הינם 1,2

המרחבים העצמיים הינם:

$V_1=N(1\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=span\{(1,0,0)\}$

$V_2=N(2\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=span\{(0,0,1)\}$

ב

$p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & -1 \\ -1 & x-1 & -1 \\ -1 & -1 & x-1\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}0 & -1+(x-1)^2 & -1-(x-1) \\ -1 & x-1 & -1 \\ 0 & -1-(x-1) & x\end{pmatrix} =$

$=\det\begin{pmatrix}x^2-2x & -x \\ -x & x\end{pmatrix}=x(x^2-2x)-x^2 = x^2(x-3)$

ולכן הע"ע הינם 0,3

המרחבים העצמים הינם

$V_0=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1\end{pmatrix}=span\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}$

$V_3=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}=span\{(1,1,1)\}$

ג

2

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של הוקטורים

av_1+bv_2=0

נכפול במטריצה A משמאל לקבל

aAv_1+bAv_2=0

ולכן

ax_1v_1+bx_2v_2=0

כיוון ש $x_1\neq x_2$ , בלי הגבלת הכלליות נניח כי $x_1\neq 0$ ונחלק בו

av_1+b\frac{x_2}{x_1}v_2=0

וביחד עם המשוואה הראשונה $av_1+bv_2=0$ נקבל

b(\frac{x_2}{x_1}-1)v_2=0

וכיוון ש $v_2$ וקטור עצמי ולכן שונה מאפס, וכיוון ש $x_1\neq x_2$

\frac{x_2}{x_1}-1\neq 0

וביחד יוצא

b=0

לכן

$av_1=0$

כיוון ש $v_1\neq 0$ (כי הוא וקטור עצמי) אזי

$a=0$

וסה"כ הוקטורים בת"ל.

@@ שורה 37: / שורה 37: @@
 ==2==
+ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של הוקטורים
+::<math>av_1+bv_2=0</math>
+נכפול במטריצה A משמאל לקבל
+::<math>aAv_1+bAv_2=0</math>
+ולכן
+::<math>ax_1v_1+bx_2v_2=0</math>
+כיוון ש<math>x_1\neq x_2</math>, בלי הגבלת הכלליות נניח כי <math>x_1\neq 0</math> ונחלק בו
+::<math>av_1+b\frac{x_2}{x_1}v_2=0</math>
+וביחד עם המשוואה הראשונה <math>av_1+bv_2=0</math> נקבל
+::<math>b(\frac{x_2}{x_1}-1)v_2=0</math>
+וכיוון ש<math>v_2</math> וקטור עצמי ולכן שונה מאפס, וכיוון ש <math>x_1\neq x_2</math>
+::<math>\frac{x_2}{x_1}-1\neq 0</math>
+וביחד יוצא
+::<math>b=0</math>
+לכן
+<math>av_1=0</math>
+כיוון ש <math>v_1\neq 0</math> (כי הוא וקטור עצמי) אזי
+<math>a=0</math>
+וסה"כ הוקטורים בת"ל.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1/פתרון"

גרסה מ־13:42, 14 בנובמבר 2012

תוכן עניינים

1

א

ב

ג

2

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים