88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1/פתרון

פתרון לתרגיל 1

1

נחשב את הפולינום האופייני ונמצא את השורשים שלו, הם הערכים העצמיים. לכל ערך עצמי נחשב את המרחב העצמי המתאים לו.

א

$p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x-2\end{pmatrix} = (x-1)^2(x-2)$

ולכן הערכים העצמיים הינם 1,2

המרחבים העצמיים הינם:

$V_1=N(1\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=span\{(1,0,0)\}$

$V_2=N(2\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=span\{(0,0,1)\}$