הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏4)
שורה 1: שורה 1:
 +
==0==
 +
הוכיחו כי לכל בסיס א"ג <math>\{v_1,...,v_n\}</math> ולכל סקלרים <math>\{a_1,...,a_n\}</math> מתקיים כי
 +
 +
::הקבוצה <math>\{a_1v_1,...,a_nv_n\}</math> בסיס א"ג אם"ם <math>\forall i:a_i\neq 0</math>
 +
 
==1==
 
==1==
 
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math>
 
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math>

גרסה מ־18:49, 26 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

0

הוכיחו כי לכל בסיס א"ג \{v_1,...,v_n\} ולכל סקלרים \{a_1,...,a_n\} מתקיים כי

הקבוצה \{a_1v_1,...,a_nv_n\} בסיס א"ג אם"ם \forall i:a_i\neq 0

1

תהי A\in\mathbb{C}^{n\times n} המקיימת A=A^*. הוכיחו כי N(A)=N(A^2)

(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)

2

תהי A\in \mathbb{R}^{3\times 3} מטריצה אוניטרית המקיימת |A|=1.

הוכיחו כי (tr(A))^2-tr(A^2)=2tr(A)

(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)

3

יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.

א

יהי B=\{w_1,...,w_k\} בסיס א"נ ל W.

יהיו v_{k+1},...,v_n המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.


לכל k+1\leq i \leq n נסמן:

v'_i=v_i-\pi_W(v_i)


הוכיחו כי \{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\} בסיס ל V

ב

הוכיחו את משפט הפירוק הניצב W\oplus W^\perp=V

ג

מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל \pi_W

4

יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי v\in V.

הוכיחו כי לכל w\in W מתקיים ||v-\pi_W(v)||>||v-w||

(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)

5

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-113_לינארית_2_סמסטר_א_תשעג/תרגילים/8&oldid=30409