הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־21:25, 26 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

1 0
2 1
3 2
4 3
- 4.1 א
- 4.2 ב
- 4.3 ג
5 4
6 5

0

הוכיחו כי לכל בסיס א"ג $\{v_1,...,v_n\}$ ולכל סקלרים $\{a_1,...,a_n\}$ מתקיים כי

הקבוצה

\{a_1v_1,...,a_nv_n\}

בסיס א"ג אם"ם

\forall i:a_i\neq 0

1

תהי $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ המקיימת $A=A^*$ . הוכיחו כי $N(A)=N(A^2)$

(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)

2

תהי $A\in \mathbb{R}^{3\times 3}$ מטריצה אוניטרית המקיימת $|A|=1$ .

הוכיחו כי $(tr(A))^2-tr(A^2)=2tr(A)$

(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)

3

יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.

א

יהי $B=\{w_1,...,w_k\}$ בסיס א"נ ל W.

יהיו $v_{k+1},...,v_n$ המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.

לכל $k+1\leq i \leq n$ נסמן:

v'_i=v_i-\pi_W(v_i)

הוכיחו כי $\{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\}$ בסיס ל V

ב

הוכיחו את משפט הפירוק הניצב $W\oplus W^\perp=V$

ג

מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל $\pi_W$

4

יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי $v\in V$ .

הוכיחו כי לכל $w\in W$ מתקיים $||v-\pi_W(v)||>||v-w||$

(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)

5

נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות $V=\mathbb{C}^{n\times n}$ על ידי:

<A,B>:=tr(AB^*)

תהי $U\subseteq V$ מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את $U^\perp$

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-113_לינארית_2_סמסטר_א_תשעג/תרגילים/8&oldid=30411