שינויים

88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8

נוספו 1,774 בתים, 17:12, 31 בדצמבר 2012
/* 4 */
==0==
הוכיחו כי לכל בסיס א"ג <math>\{v_1,...,v_n\}</math> ולכל סקלרים <math>\{a_1,...,a_n\}</math> מתקיים כי
 
::הקבוצה <math>\{a_1v_1,...,a_nv_n\}</math> בסיס א"ג אם"ם <math>\forall i:a_i\neq 0</math>
 
==1==
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math>
==3==
יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.
===א===
יהי <math>B=\{w_1,...,w_k\}</math> בסיס א"נ ל W.
 
יהיו <math>v_{k+1},...,v_n</math> המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.
 
 
לכל <math>k+1\leq i \leq n</math> נסמן:
 
::<math>v'_i=v_i-\pi_W(v_i)</math>
 
 
הוכיחו כי <math>\{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\}</math> בסיס ל V
 
===ב===
הוכיחו את משפט הפירוק הניצב <math>W\oplus W^\perp=V</math>
 
===ג===
 
מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל <math>\pi_W</math>
 
==4==
יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math>.
 
הוכיחו כי לכל <math>w\in W</math> מתקיים <math>||v-\pi_W(v)||<||v-w||</math>
 
(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)
 
==5==
נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות <math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math> על ידי:
 
::<math><A,B>:=tr(AB^*)</math>
 
תהי <math>U\subseteq V</math> מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את <math>U^\perp</math>
 
==6==
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k.
 
הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> למרחב V מתקיים <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k</math>