הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(4)
(4)
 
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
==0==
 +
הוכיחו כי לכל בסיס א"ג <math>\{v_1,...,v_n\}</math> ולכל סקלרים <math>\{a_1,...,a_n\}</math> מתקיים כי
 +
 +
::הקבוצה <math>\{a_1v_1,...,a_nv_n\}</math> בסיס א"ג אם"ם <math>\forall i:a_i\neq 0</math>
 +
 
==1==
 
==1==
 
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math>
 
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math>
שורה 34: שורה 39:
  
 
==4==
 
==4==
יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי <math>v\in V</math>.
+
יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math>.
  
הוכיחו כי לכל <math>w\in W</math> מתקיים <math>||v-\pi_W(v)||>||v-w||</math>
+
הוכיחו כי לכל <math>w\in W</math> מתקיים <math>||v-\pi_W(v)||<||v-w||</math>
  
 
(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)
 
(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)
  
 
==5==
 
==5==
 +
נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות <math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math> על ידי:
 +
 +
::<math><A,B>:=tr(AB^*)</math>
 +
 +
תהי <math>U\subseteq V</math> מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את <math>U^\perp</math>
 +
 +
==6==
 +
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k.
 +
 +
הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> למרחב V מתקיים <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k</math>

גרסה אחרונה מ־17:12, 31 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

0

הוכיחו כי לכל בסיס א"ג \{v_1,...,v_n\} ולכל סקלרים \{a_1,...,a_n\} מתקיים כי

הקבוצה \{a_1v_1,...,a_nv_n\} בסיס א"ג אם"ם \forall i:a_i\neq 0

1

תהי A\in\mathbb{C}^{n\times n} המקיימת A=A^*. הוכיחו כי N(A)=N(A^2)

(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)

2

תהי A\in \mathbb{R}^{3\times 3} מטריצה אוניטרית המקיימת |A|=1.

הוכיחו כי (tr(A))^2-tr(A^2)=2tr(A)

(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)

3

יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.

א

יהי B=\{w_1,...,w_k\} בסיס א"נ ל W.

יהיו v_{k+1},...,v_n המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.


לכל k+1\leq i \leq n נסמן:

v'_i=v_i-\pi_W(v_i)


הוכיחו כי \{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\} בסיס ל V

ב

הוכיחו את משפט הפירוק הניצב W\oplus W^\perp=V

ג

מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל \pi_W

4

יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי v\in V כך ש v\notin W.

הוכיחו כי לכל w\in W מתקיים ||v-\pi_W(v)||<||v-w||

(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)

5

נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות V=\mathbb{C}^{n\times n} על ידי:

<A,B>:=tr(AB^*)

תהי U\subseteq V מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את U^\perp

6

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל \mathbb{C} ויהי U\subseteq V תת מרחב ממימד k.

הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי \{v_1,...,v_n\} למרחב V מתקיים \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k