88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעד/הקדמה למשפט ז'ורדן

שאלה 1:

מצאו את כל תתי המרחבים האינווריאנטים של העתקת הנגזרת $T:\mathbb{R}_n[x]\rightarrow \mathbb{R}_n[x]$

תשובה: $\mathbb{R}_k[x]$ עבור $k\leq n$

שאלה 2:

אם $T,S$ אופרטורים כך ש $TS=ST$

אזי $Im(S),Ker(S)$ הם $T$ אינווריאנטיים

הגדרת מרחב עצמי מוכלל

שאלה 3:

הוכיחו כי $Ker(T-\lambda I)^k$ הוא $T$ אינווריאנטי

שאלה 4:

יהי אופרטור $T:V\rightarrow V$, נניח כי הפולינום האופייני הוא מהצורה $f_T=gh$ כאשר $g,h$ זרים זה לזה.

הוכיחו כי $V=Ker(g(T))\oplus Ker(h(T))$

שאלה 5: יהי אופרטור $T$ עם פולינום מל"ל וk ע"ע עצמיים שונים $\lambda_1,...,\lambda_k$ עם ריבויים אלגבריים $n_1,...,n_k$ בהתאמה.

הוכיחו כי $V=Ker(T-\lambda_1 I)^{n_1}\oplus\cdots\oplus Ker(T-\lambda_k I)^{n_k}$

שאלה 6:

הוכיחו כי אופרטור ניליפוטנטי $T$ דומה לבלוק ז'ורדן אם ורק אם קיים מסלול $u,Tu,T^2u,...,T^{n-1}u$ כך שמתקיים $T^{n-1}u\neq 0$, וגם $T^nu=0$.

שאלה 7: הוכיחו כי אופרטור $T$ דומה לבלוק ז'ורדן עם ע"ע $\lambda$ אם ורק אם קיים מסלול $u,(T-\lambda I)u,(T-\lambda I)^2u,...,(T-\lambda I)^{n-1}u$ כך שמתקיים $(T-\lambda I)^{n-1}u\neq 0$, וגם $(T-\lambda I)^nu=0$.