הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעד/הקדמה למשפט ז'ורדן"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "'''שאלה 1''': מצאו את כל תתי המרחבים האינווריאנטים של העתקת הנגזרת <math>T:\mathbb{R}_n[x]\rightarrow \mathbb{R}...")
 
 
(11 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 4: שורה 4:
  
 
תשובה: <math>\mathbb{R}_k[x]</math> עבור <math>k\leq n</math>
 
תשובה: <math>\mathbb{R}_k[x]</math> עבור <math>k\leq n</math>
 +
 +
 +
'''שאלה 2''':
 +
 +
אם <math>T,S</math> אופרטורים כך ש <math>TS=ST</math>
 +
 +
אזי <math>Im(S),Ker(S)</math> הם <math>T</math> אינווריאנטיים
 +
 +
 +
'''הגדרת מרחב עצמי מוכלל'''
 +
 +
 +
'''שאלה 3''':
 +
 +
הוכיחו כי <math>Ker(T-\lambda I)^k</math> הוא <math>T</math> אינווריאנטי
 +
 +
 +
'''שאלה 4''':
 +
 +
יהי אופרטור <math>T:V\rightarrow V</math>, נניח כי הפולינום האופייני הוא מהצורה <math>f_T=gh</math> כאשר <math>g,h</math> זרים זה לזה.
 +
 +
הוכיחו כי <math>V=Ker(g(T))\oplus Ker(h(T))</math>
 +
 +
 +
'''שאלה 5''':
 +
יהי אופרטור <math>T</math> עם פולינום מל"ל וk ע"ע עצמיים שונים <math>\lambda_1,...,\lambda_k</math> עם ריבויים אלגבריים <math>n_1,...,n_k</math> בהתאמה.
 +
 +
הוכיחו כי <math>V=Ker(T-\lambda_1 I)^{n_1}\oplus\cdots\oplus Ker(T-\lambda_k I)^{n_k}</math>
 +
 +
 +
'''שאלה 6''':
 +
 +
הוכיחו כי אופרטור ניליפוטנטי <math>T</math> דומה לבלוק ז'ורדן אם ורק אם קיים '''מסלול'''
 +
<math>u,Tu,T^2u,...,T^{n-1}u</math> כך שמתקיים <math>T^{n-1}u\neq 0</math>, וגם <math>T^nu=0</math>.
 +
 +
 +
'''שאלה 7''':
 +
הוכיחו כי אופרטור <math>T</math> דומה לבלוק ז'ורדן עם ע"ע <math>\lambda</math> אם ורק אם קיים '''מסלול'''
 +
<math>u,(T-\lambda I)u,(T-\lambda I)^2u,...,(T-\lambda I)^{n-1}u</math>
 +
כך שמתקיים <math>(T-\lambda I)^{n-1}u\neq 0</math>, וגם <math>(T-\lambda I)^nu=0</math>.

גרסה אחרונה מ־14:17, 19 בנובמבר 2013

שאלה 1:

מצאו את כל תתי המרחבים האינווריאנטים של העתקת הנגזרת T:\mathbb{R}_n[x]\rightarrow \mathbb{R}_n[x]

תשובה: \mathbb{R}_k[x] עבור k\leq n


שאלה 2:

אם T,S אופרטורים כך ש TS=ST

אזי Im(S),Ker(S) הם T אינווריאנטיים


הגדרת מרחב עצמי מוכלל


שאלה 3:

הוכיחו כי Ker(T-\lambda I)^k הוא T אינווריאנטי


שאלה 4:

יהי אופרטור T:V\rightarrow V, נניח כי הפולינום האופייני הוא מהצורה f_T=gh כאשר g,h זרים זה לזה.

הוכיחו כי V=Ker(g(T))\oplus Ker(h(T))


שאלה 5: יהי אופרטור T עם פולינום מל"ל וk ע"ע עצמיים שונים \lambda_1,...,\lambda_k עם ריבויים אלגבריים n_1,...,n_k בהתאמה.

הוכיחו כי V=Ker(T-\lambda_1 I)^{n_1}\oplus\cdots\oplus Ker(T-\lambda_k I)^{n_k}


שאלה 6:

הוכיחו כי אופרטור ניליפוטנטי T דומה לבלוק ז'ורדן אם ורק אם קיים מסלול u,Tu,T^2u,...,T^{n-1}u כך שמתקיים T^{n-1}u\neq 0, וגם T^nu=0.


שאלה 7: הוכיחו כי אופרטור T דומה לבלוק ז'ורדן עם ע"ע \lambda אם ורק אם קיים מסלול u,(T-\lambda I)u,(T-\lambda I)^2u,...,(T-\lambda I)^{n-1}u כך שמתקיים (T-\lambda I)^{n-1}u\neq 0, וגם (T-\lambda I)^nu=0.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-113_לינארית_2_סמסטר_א_תשעד/הקדמה_למשפט_ז%27ורדן&oldid=38193