שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]
==1==
<math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
==2==
==3==
משיעורי הבית
==4==
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
:<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:
:<math>L^2=L</math>
כלומר <math>L=1</math> או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.
==5==
משיעורי הבית
==6==
===א===
חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0
===ב===
<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math>
===ג===
<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math>
===ד===
<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math>
===ה===
לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>
