שינויים

L הינו גבול הסדרה <math>a_n</math>אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>  L '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' אפסילון גדול מאפס <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N </math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|\geqge\epsilonvarepsilon</math>.

כיוון שהאיבר הראשון חיוביכאשר הסדרה מונוטונית קבועה, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיוביתהיא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה. לכן

::כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}0</math>ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על ידי הזוג הראשון. כאשר נסמן <math>c\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math>ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר ולכן::<math>cL^2=L</math>כלומר <math>L=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> הסדרה והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> .

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן גבולה הוא אחד. כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה: נסמן <math>\lim a_n=L</math> ולכן <math>\lim a_{n+1}=L</math>ולכן: ::<math>L^2=L</math> כלומר L שווה לאחד או אפס. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim a_n\leq c<1</math> ולכן הגבול שווה אפס.  באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מאחד מ-1 בסתירה.

חסומה כפול שואפת לאפס ל-0 לכן שואף לאפסל-0

<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8cdot8}=9\sqrt[n]{8}\rightarrow 9to9</math>

<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac{1}{2}frac12</math> ולכן <math>L=1</math>

 <math>\Bigleft(1+\frac{3n}{n^2+1}\Bigright)^n=\Bigleft(1+\frac{1}frac1{\frac{n}{3}+\frac{1}frac1{3n}}\Bigright)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac{1}frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac{1}frac1{3n}}}=\Bigleft(1+\frac{1}frac1{\frac{n}{3}+\frac{1}frac1{3n}}\Bigright)^{\left(\frac{n}{3}+\frac{1}frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac{1}frac1{3n}}}}\rightarrow to e^3</math>

 לפי משפט אם הגבול <math>\lim\fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

<math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\rightarrow to 4</math>