הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2"
(←ה) |
|||
שורה 66: | שורה 66: | ||
<math> | <math> | ||
− | \frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}= | + | \frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}= |
+ | </math> | ||
− | |||
+ | <math> | ||
+ | |||
+ | \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2}} <1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן הטור מתכנס. | ||
==4== | ==4== |
גרסה מ־11:59, 5 בפברואר 2012
תוכן עניינים
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור הוא התכנסות הסדרה לאפס . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור מתכנס, כלומר הטור מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר.
ד
הפרכה:
מתכנס לפי לייבניץ, אבל מתבדר
3
א
ב
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
ולכן מתכנס
ג
ד
ה
נפעיל את מבחן המנה:
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
ולכן הטור מתכנס.
4
א
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי
ב
הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.
ג
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור