שינויים

[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]=חסמים='''הגדרה:''' תהי <math>U </math> סדורה ותהי תת -קבוצה <math>A\subseteq U</math>, אזי:*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\leq le M</math>*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\geq ge m</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''מקסימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''מינימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''החסם העליון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''החסם התחתון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

שימו לב לשלילות הבאות:*<math>M</math> אינו חסם מלעיל אם"ם קיים אבר <math>a>M</math>*<math>m</math> אינו חסם מלרע אם"ם קיים אבר <math>a<m</math>*<math>M</math> אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.*<math>m</math> אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.  '''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון). ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים מ- <math>\sqrt2</math>). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר ל- <math>\sqrt2</math> הקטן ממנו (שכן <math>\sqrt2</math> עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.  ;משפט.תהי <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל אזי:*<math>M</math> חסם עליון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a>M-\varepsilon</math>*<math>m</math> חסם תחתון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>m</math> חסם מלרע של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a<m+\varepsilon</math>  '''במילים:''' <math>M</math> חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את <math>M</math> בגודל כלשהו שאינו 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש אבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.) ;הוכחה.נניח <math>M</math> חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש- <math>M</math> חסם מלעיל. נותר להוכיח כי:<math>\forall\varepsilon>0,\exists a\in A:a>M-\varepsilon</math>נניח בשלילה כי קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M-\varepsilon</math> . לכן, לפי ההגדרה <math>M-\varepsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיון שאפסילון גדול מ-0, <math>M-\varepsilon</math> הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>M</math> , בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.  ;תרגיל.תהי <math>A=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\Big|n\in\N\right\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים). ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\left\{-1,2\dfrac14,-1\dfrac89,2\dfrac1{16},\ldots\right\}</math> אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה. *נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל <math>n</math> טבעי מתקיים:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le2+\dfrac14</math> עבור <math>n=1</math> זה ברור. אם <math>n\ge2</math> ניתן לומר:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14</math>*כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים::<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n>-2</math>אבל:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2>-2</math> *כעת נוכיח כי בנוסף, לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים אבר <math>a</math> בקבוצה כך ש- <math>a<-2+\varepsilon</math> . יהי <math>\varepsilon>0</math> , צ"ל <math>n</math> טבעי כך ש::<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n<-2+\varepsilon</math> מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' <math>n</math> טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי-זוגי. לכן ננסה למצוא:<math>\begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}</math> תמיד ניתן למצוא <math>k</math> טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.  לכן הוכחנו כי <math>-2</math> הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום *נוכיח כי החסם התחתון <math>-2</math> אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים <math>n</math> טבעי כך ש::<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2</math> אבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.