שינויים

[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]=חסמים='''הגדרה:''' תהי <math>U </math> סדורה ותהי תת -קבוצה <math>A\subseteq U</math>, אזי:*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\leq le M</math>*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\geq ge m</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''מקסימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''מינימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''החסם העליון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''החסם התחתון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)

*<math>M </math> אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר אבר <math>a>M</math>*<math>m </math> אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר אבר <math>a<m</math>*<math>M </math> אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.*<math>m </math> אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

'''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתיםמ- <math>\sqrt2</math>). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים ל- <math>\sqrt2</math> הקטן ממנו (שכן שורש שתים <math>\sqrt2</math> עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.

''';משפט.''' תהי <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל אזי:*<math>M</math> חסם עליון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a>M-\varepsilon</math>*<math>m</math> חסם תחתון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>m</math> חסם מלרע של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a<m+\varepsilon</math>

'''במילים:''' ;הוכחה.נניח <math>M </math> חסם עליון אם הוא . מתוך ההגדרה של חסם מלעיל וגם אין עליון נובע בפרט ש- <math>M</math> חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומרנותר להוכיח כי:<math>\forall\varepsilon>0, \exists a\in A:a>M-\varepsilon</math>נניח בשלילה כי קיים <math>\varepsilon>0</math> כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו.(ניסוח דומה עבור החסם התחתון-\varepsilon</math> .)

'''הוכחה.''' נניח M חסם עליון. מתוך לכן, לפי ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-<math>M -\varepsilon</math> הוא חסם מלעילשל הקבוצה. נותר להוכיח כי::מכיון שאפסילון גדול מ-0, <math>M-\forall\epsilon varepsilon</math>0\exists a\in A:aהוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>M-\epsilon</math>, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

לכן, לפי ההגדרה, ;תרגיל.תהי <math>MA=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\epsilonBig|n\in\N\right\}</math> הוא מצא חסם מלעיל של הקבוצהעליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים). מכיוון שאפ

'''תרגיל.''' תהי <math>A=\{\frac{1}{n^2} + 2אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (-1)^n|n\in\mathbb{N}\}</math> מצא ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הנו תמיד חסם עליוןאם הוא קיים), ואנו מעריכים כי 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום ומקסימום (אם הם קיימים). נוכיח את כל זה.

ראשית*נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, נביט במספר איברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהיולכן צ"ל שלכל <math>n</math> טבעי מתקיים: <math>A=\dfrac1{-1,n^2\frac{1}{4},+2(-1)^n\frac{8}{9},2le2+\frac{1}{16},...\}dfrac14</math>

אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום עבור <math>n=1</math> זה ברור. אם <math>n\ge2</math> ניתן לומר:<math>\dfrac1{n^2}+2(ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הינו תמיד חסם עליון אם הוא קיים-1), ואנו מעריכים ^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14</math>*כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה.מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים::<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n>-2</math>אבל:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2>-2</math>

*כעת נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בנוסף, לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים אבר <math>a</math> בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון)כך ש- <math>a<-2+\varepsilon</math> . צ"ל שכל איבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל n טבעי מתקיים

יהי <math>\varepsilon>0</math> , צ"ל <math>n</math> טבעי כך ש::<math>\frac{1}dfrac1{n^2} + 2(-1)^n\leq <-2+\frac{1}{4}varepsilon</math>

עבור מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' <math>n=1 זה ברור</math> טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי-זוגי. אם לכן ננסה למצוא:<math>n\geq begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}</math> ניתן לומר

תמיד ניתן למצוא <math>k</math> טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.  לכן הוכחנו כי <math>-2</math> הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום *נוכיח כי החסם התחתון <math>-2</math> אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים <math>n</math> טבעי כך ש::<math>\frac{1}dfrac1{n^2} + 2(-1)^n\leq \frac{1}{n^2}+2 \leq =-2+\frac{1}{4}</math> אבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.