[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]=חסמים='''הגדרה:''' תהי <math>U </math> סדורה ותהי תת -קבוצה <math>A\subseteq U</math>, אזי:*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\leq le M</math>*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\geq ge m</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''מקסימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''מינימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''החסם העליון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''החסם התחתון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)
שימו לב לשלילות הבאות:
*<math>M </math> אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר אבר <math>a>M</math>*<math>m </math> אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר אבר <math>a<m</math>*<math>M </math> אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.*<math>m </math> אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.
'''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).
ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתיםמ- <math>\sqrt2</math>). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים ל- <math>\sqrt2</math> הקטן ממנו (שכן שורש שתים <math>\sqrt2</math> עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.
''';משפט.''' תהי <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל אזי:*<math>M</math> חסם עליון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>M</math> חסם מלעיל של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a>M-\varepsilon</math>*<math>m</math> חסם תחתון של <math>A</math> '''אם"ם''' <math>m</math> חסם מלרע של <math>A</math> וגם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a<m+\varepsilon</math>
*M חסם עליון של A '''אם"ם''' M חסם מלעיל של A וגם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\epsilon</math>
*m חסם תחתון של A '''אם"ם''' m חסם מלרע של A וגם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\epsilon</math>
'''במילים:''' <math>M</math> חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את <math>M</math> בגודל כלשהו שאינו 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש אבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)
'''במילים:''' ;הוכחה.נניח <math>M </math> חסם עליון אם הוא . מתוך ההגדרה של חסם מלעיל וגם אין עליון נובע בפרט ש- <math>M</math> חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומרנותר להוכיח כי:<math>\forall\varepsilon>0, \exists a\in A:a>M-\varepsilon</math>נניח בשלילה כי קיים <math>\varepsilon>0</math> כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו.(ניסוח דומה עבור החסם התחתון-\varepsilon</math> .)
'''הוכחה.''' נניח M חסם עליון. מתוך לכן, לפי ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-<math>M -\varepsilon</math> הוא חסם מלעילשל הקבוצה. נותר להוכיח כי::מכיון שאפסילון גדול מ-0, <math>M-\forall\epsilon varepsilon</math>0\exists a\in A:aהוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>M-\epsilon</math>, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.
נניח בשלילה כי קיים <math>\epsilon >0</math> כל שלכל האיברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\leq M-\epsilon</math>.
לכן, לפי ההגדרה, ;תרגיל.תהי <math>MA=\left\{\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\epsilonBig|n\in\N\right\}</math> הוא מצא חסם מלעיל של הקבוצהעליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים). מכיוון שאפ
ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\left\{-1,2\dfrac14,-1\dfrac89,2\dfrac1{16},\ldots\right\}</math>
'''תרגיל.''' תהי <math>A=\{\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n|n\in\mathbb{N}\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים). ראשית, נביט במספר איברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\{-1,2\frac{1}{4},-1\frac{8}{9},2\frac{1}{16},...\}</math> אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הינו הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי מינוס שתים הינו 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה. *נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל איבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל n טבעי מתקיים ::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n\leq 2+\frac{1}{4}</math> עבור n=1 זה ברור. אם <math>n\geq 2</math> ניתן לומר ::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n\leq \frac{1}{n^2}+2 \leq 2+\frac{1}{4}</math>
*נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל <math>n</math> טבעי מתקיים
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le2+\dfrac14</math>
עבור <math>n=1</math> זה ברור. אם <math>n\ge2</math> ניתן לומר
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le\dfrac1{n^2}+2\le2+\dfrac14</math>
*כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים:
::<math>\frac{1}dfrac1{n^2} + 2(-1)^n\geq >-2</math>
אבל
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\dfrac1{n^2}-2>-2</math>
::*כעת נוכיח כי בנוסף, לכל <math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n\geq \frac{1}{n^2} -2\geq -2varepsilon>0</math> *כעת נוכיח כי בנוסף, לכל אפסילון חיובי קיים איבר בקבוצה כך שאבר <math>a<-2+\epsilon</math>. יהי אפסילון גדול מאפס, צ"ל n טבעי בקבוצה כך ש: ::- <math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^na< -2+\epsilonvarepsilon</math>.
יהי <math>\varepsilon>0</math> , צ"ל <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n<-2+\varepsilon</math>
מכיוון מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' <math>n </math> טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי -זוגי. לכן ננסה למצוא :<math>\begin{align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\varepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}</math>
::תמיד ניתן למצוא <math>\frac{1}{(2k+1)^2} + 2(-1)^(2k+1)< -2+\epsilonk</math>טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.
::<math>\frac{1}{(2k+1)^2} -2< -2+\epsilon</math>
::לכן הוכחנו כי <math>2k_1 > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}-2</math>הנו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום
*נוכיח כי החסם התחתון <math>-2</math> אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2</math>
תמיד ניתן למצוא k טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משלאבל כבר הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים ל-2-.
