שינויים

'''הגדרה:''' תהי U סדורה ותהי תת -קבוצה <math>A\subseteq U</math>, אזי:*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם <math>\forall a\in A:a\leq le M</math>*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם <math>\forall a\in A:a\geq ge m</math>

*M אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר אבר <math>a>M</math>*m אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר אבר <math>a<m</math>

*m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

'''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).

'''משפט.''' תהי <math>A\subseteq\mathbb{R}</math> חסומה מלעיל אזי: *M חסם עליון של A '''אם"ם''' M חסם מלעיל של A וגם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש - <math>a>M-\epsilon</math>*m חסם תחתון של A '''אם"ם''' m חסם מלרע של A וגם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש - <math>a<m+\epsilon</math>

::<math>\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon</math>נניח בשלילה כי קיים <math>\epsilon>0</math> כל שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M-\epsilon</math> .

נניח בשלילה כי קיים לכן, לפי ההגדרה, <math>M-\epsilon >0</math> כל שלכל האיברים הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, <math>aM-\in Aepsilon</math> מתקיים הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>a\leq M-\epsilon</math>, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.

'''תרגיל.''' תהי <math>A=\{\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n|n\in\mathbb{N}\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים). ראשית, נביט במספר איברים אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\{-1,2\frac{1}{4},-1\frac{8}{9},2\frac{1}{16},...\dots\}</math>

*נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל איבר אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל n טבעי מתקיים ::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n\leq le 2+\frac{1}{4}</math> עבור n=1 זה ברור. אם <math>n\geq 2</math> ניתן לומר ::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n\leq \frac{1}{n^2}+2 \leq 2+\frac{1}{4}</math> 

 ::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n> -2</math> 

::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n\geq \frac{1}{n^2} -2> -2</math>  *כעת נוכיח כי בנוסף, לכל אפסילון חיובי קיים איבר אבר a בקבוצה כך ש- <math>a<-2+\epsilon</math>.

:מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' n טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי זוגי. לכן ננסה למצוא :<math>\frac{1}{n(2k+1)^2} + 2(-1)^n{2k+1}< -2+\epsilon</math>

מכיוון שצריך להראות ש'''קיים''' n טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי זוגי. לכן ננסה למצוא  ::<math>\frac{1}{(2k+1)^2} + 2(-1)^{2k+1}< -2+\epsilon</math> ::<math>\frac{1}{(2k+1)^2} -2< -2+\epsilon</math> ::<math>2k+1 > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}</math> 

::<math>\frac{1}{n^2} + 2(-1)^n= -2</math> אבל כבר הראנו שאיברי שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים למינוס שתים.