הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות")
 
שורה 1: שורה 1:
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
 +
 +
 +
*<math>\sum\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math>, כאשר <math>m,k\in\mathbb{N}</math>
 +
 +
 +
נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''':
 +
 +
 +
::<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=</math>
 +
 +
::<math>=\lim\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot
 +
\frac{\sqrt[m]{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt[k]{1+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}}
 +
 +
</math>
 +
 +
 +
הביטוי הימני שואף לאחד, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
 +
 +
 +
::<math>\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}=\frac{n^{\frac{1}{m}-\frac{2}{k}}}{\sqrt[k]{4}}</math>
 +
 +
 +
'''נחלק למקרים''':
 +
 +
::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>)
 +
 +
אזי
 +
 +
<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר'''
 +
 +
 +
::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>)
 +
 +
אזי
 +
 +
<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> והטור '''מתכנס'''
 +
 +
 +
::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>)
 +
 +
אזי
 +
 +
לכל k, מתקיים <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt[k]{4}}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''.

גרסה מ־20:51, 4 בינואר 2012

חזרה לדוגמאות


  • \sum\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}, כאשר m,k\in\mathbb{N}


נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):


\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=
=\lim\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot \frac{\sqrt[m]{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt[k]{1+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}}


הביטוי הימני שואף לאחד, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:


\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}=\frac{n^{\frac{1}{m}-\frac{2}{k}}}{\sqrt[k]{4}}


נחלק למקרים:

\frac{1}{m}-\frac{2}{k}>0 (כלומר 2m<k)

אזי

\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty והטור מתבדר


\frac{1}{m}-\frac{2}{k}<0 (כלומר 2m>k)

אזי

\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=0 והטור מתכנס


\frac{1}{m}-\frac{2}{k}=0 (כלומר 2m=k)

אזי

לכל k, מתקיים \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt[k]{4}}<1 ולכן הטור מתכנס.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/טורים/מבחנים_לחיוביים/דוגמאות/2&oldid=18029