הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | ||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math> , כאשר <math>m,k\in\N</math> | ||
+ | |||
+ | נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''': | ||
+ | |||
+ | :<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot | ||
+ | \frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול: | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}{\sqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{n^{\frac1m-\frac2k}}{\sqrt[k]4}</math> | ||
+ | |||
+ | '''נחלק למקרים:''' | ||
+ | :<math>\dfrac1m-\dfrac2k>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>) | ||
+ | |||
+ | אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\dfrac1m-\dfrac2k<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>) | ||
+ | |||
+ | אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> והטור '''מתכנס''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac1m-\frac2k=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>) | ||
+ | |||
+ | אזי לכל <math>k</math> מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{\sqrt[k]4}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''. |
גרסה אחרונה מ־23:56, 14 בפברואר 2017
- , כאשר
נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):
הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
נחלק למקרים:
- (כלומר )
אזי והטור מתבדר
- (כלומר )
אזי והטור מתכנס
- (כלומר )
אזי לכל מתקיים ולכן הטור מתכנס.