שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math> , כאשר <math>m,k\in\N</math>
נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''':
:<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot
\frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align}</math>
הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
:<math>\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}{\sqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{n^{\frac1m-\frac2k}}{\sqrt[k]4}</math>
'''נחלק למקרים:'''
:<math>\dfrac1m-\dfrac2k>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>)
אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר'''
:<math>\dfrac1m-\dfrac2k<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>)
אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> והטור '''מתכנס'''
:<math>\frac1m-\frac2k=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>)
אזי לכל <math>k</math> מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{\sqrt[k]4}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''.
