[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
*<math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math>, כאשר <math>m,k\in\mathbb{N}</math>
נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''':
:<math>\displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot
\frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align}</math>
::<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=</math> ::<math>=\lim\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot\frac{\sqrt[m]{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt[k]{1+\frac{3}{2n}+\frac{1}{2n^2}}} </math> הביטוי הימני שואף לאחדל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול: ::<math>\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}=\frac{n^{\frac{1}{m}-\frac{2}{k}}}{\sqrt[k]{4}}</math> '''נחלק למקרים''': ::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>) אזי <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר'''
::<math>\fraclim_{1n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}-{\fracsqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{kn^{\frac1m-\frac2k}<0</math> (כלומר <math>2m>}{\sqrt[k]4}</math>)
אזי '''נחלק למקרים:''':<math>\dfrac1m-\dfrac2k>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>)
אזי <math>\lim \fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0\infty</math> והטור '''מתכנסמתבדר'''
:<math>\dfrac1m-\dfrac2k<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>)
::אזי <math>\fraclim\limits_{1}{mn\to\infty}-\fracdfrac{2a_{n+1}}{ka_n}=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>)והטור '''מתכנס'''
אזי :<math>\frac1m-\frac2k=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>)
אזי לכל <math>k, </math> מתקיים <math>\lim \limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}frac1{\sqrt[k]{4}}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''.
