הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4"

גרסה מ־15:40, 16 בינואר 2012

נבצע את מבחן השוואה ראשון עם הטור ההרמוני $\sum\frac{1}{n}$

\sqrt[n]{n}-1>\frac{1}{n}

אם"ם

\sqrt[n]{n}>1+\frac{1}{n}

אם"ם

n>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n

אבל כיוון ש $\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n$ שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n<e

ולכן, סה"כ, החל מ $n>3$ מתקיים

n>3>e>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*<math>\sum \sqrt[n]{n}-1</math>
+נבצע את מבחן השוואה ראשון עם הטור ההרמוני <math>\sum\frac{1}{n}</math>
+::<math>\sqrt[n]{n}-1>\frac{1}{n}</math>
+אם"ם
+::<math>\sqrt[n]{n}>1+\frac{1}{n}</math>
+אם"ם
+::<math>n>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
+אבל כיוון ש <math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math> שואף למספר e '''מלמטה''' מתקיים כי
+::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n<e</math>
+ולכן, סה"כ, החל מ <math>n>3</math> מתקיים
+::<math>n>3>e>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
+ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור '''מתבדר'''.