הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4"

גרסה אחרונה מ־13:01, 15 בפברואר 2017

נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n$

\sqrt[n]n-1>\dfrac1n

אם"ם

\sqrt[n]n>1+\dfrac1n

אם"ם

n>\left(1+\dfrac1n\right)^n

אך כיון ש- $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

\left(1+\dfrac1n\right)^n<e

ולכן, סה"כ, החל מ $n>3$ מתקיים

n>3>e>\left(1+\frac1n\right)^n

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\big[\sqrt[n]n-1\big]</math>
-*<math>\sum\frac{(\alpha n)^n}{n!}</math>
+נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math>
+:<math>\sqrt[n]n-1>\dfrac1n</math>
+אם"ם
+:<math>\sqrt[n]n>1+\dfrac1n</math>
+אם"ם
+:<math>n>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math>
-ראשית, נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''':
+אך כיון ש- <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> שואף למספר e '''מלמטה''' מתקיים כי
+:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e</math>
+ולכן, סה"כ, החל מ <math>n>3</math> מתקיים
+:<math>n>3>e>\left(1+\frac1n\right)^n</math>
+ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור '''מתבדר'''.
-::<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\alpha^{n+1}\cdot (n+1)^{n+1}\cdot n!}{\alpha^n\cdot n^n \cdot (n+1)!}=</math>
-::<math>=\lim \alpha\cdot (\frac{n+1}{n})^{n}=\alpha \cdot e</math>
-כעת, אם <math>0<\alpha<\frac{1}{e}</math> הטור '''מתכנס'''.
-אם <math>\alpha>\frac{1}{e}</math> הטור '''מתבדר'''.
-אחרת,