88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4

חזרה לדוגמאות

• $\sum \sqrt[n]{n}-1$

נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני $\sum\frac{1}{n}$

$\sqrt[n]{n}-1>\frac{1}{n}$

אם"ם

$\sqrt[n]{n}>1+\frac{1}{n}$

אם"ם

$n>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n$

אבל כיוון ש $\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n$ שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

$\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n<e$

ולכן, סה"כ, החל מ $n>3$ מתקיים

$n>3>e>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n$

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.