הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6"

גרסה מ־21:37, 13 בינואר 2012

נביט בחלוקה

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n-1}e^nn!}{e^{n+1}(n+1)!n^{n-2}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}

כיוון שהסדרה $\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^n$ שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}\leq \frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{(\frac{n+1}{n})^{n}}= \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}

כיוון שהטור $\sum\frac{1}{n^2}$ מתכנס, יחד עם התרגיל הקודם, קיבלנו כי טור זה מתכנס.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
 *<math>\sum \frac{n^{n-2}}{e^nn!}</math>
+נביט בחלוקה
+::<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n-1}e^nn!}{e^{n+1}(n+1)!n^{n-2}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}</math>
+כיוון שהסדרה <math>\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^n</math> שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:
+::<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{e}\leq \frac{(\frac{n+1}{n})^{n-2}}{(\frac{n+1}{n})^{n}}=
+\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}</math>
+כיוון שהטור <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> מתכנס, יחד עם [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5|התרגיל הקודם]], קיבלנו כי טור זה מתכנס.