הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6"

גרסה אחרונה מ־19:26, 15 בפברואר 2017

נביט בחלוקה

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{n^{n-2}}{e^nn!}}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}\cdot\dfrac{e^nn!}{n^{n-2}}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}

כיון שהסדרה $\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n$ שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}\le\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\dfrac{\dfrac1{(n+1)^2}}{\dfrac1{n^2}}

כיון שהטור $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ מתכנס, יחד עם התרגיל הקודם, קיבלנו כי טור זה מתכנס.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{e^nn!}</math>
-*<math>\sum \frac{n^{n-2}}{e^nn!}</math>
+נביט בחלוקה
+:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{n^{n-2}}{e^nn!}}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}\cdot\dfrac{e^nn!}{n^{n-2}}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}</math>
+כיון שהסדרה <math>\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n</math> שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:
+:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}\le\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\dfrac{\dfrac1{(n+1)^2}}{\dfrac1{n^2}}</math>
+כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> מתכנס, יחד עם [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5|התרגיל הקודם]], קיבלנו כי טור זה מתכנס.