הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7"

גרסה מ־22:28, 19 בינואר 2012

ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\alpha^{n+1}\cdot (n+1)^{n+1}\cdot n!}{\alpha^n\cdot n^n \cdot (n+1)!}=

=\lim \alpha\cdot (\frac{n+1}{n})^{n}=\alpha \cdot e

כעת, אם $0<\alpha<\frac{1}{e}$ הטור מתכנס.

אם $\alpha>\frac{1}{e}$ הטור מתבדר.

אחרת:

כפי שראינו בערך על המספר e, לכל מספר טבעי n מתקיים:

\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}>e

ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{e}> \frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}

ולכן הטור מתבדר, כיוון שהטור ההרמוני מתבדר.

@@ שורה 19: / שורה 19: @@
-אחרת,
+אחרת:
+כפי שראינו ב[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/e|ערך על המספר e]], לכל מספר טבעי n מתקיים:
+::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}>e</math>
+ולכן, באופן דומה ל[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6|תרגיל קודם]] מתקיים:
+::<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{e}>
+\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}</math>
+ולכן הטור '''מתבדר''', כיוון שהטור ההרמוני מתבדר.