88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7

חזרה לדוגמאות

• $\sum\frac{(\alpha n)^n}{n!}$

ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\alpha^{n+1}\cdot (n+1)^{n+1}\cdot n!}{\alpha^n\cdot n^n \cdot (n+1)!}=$

$=\lim \alpha\cdot (\frac{n+1}{n})^{n}=\alpha \cdot e$

כעת, אם $0<\alpha<\frac{1}{e}$ הטור מתכנס.

אם $\alpha>\frac{1}{e}$ הטור מתבדר.

אחרת:

כפי שראינו בערך על המספר e, לכל מספר טבעי n מתקיים:

$\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}>e$

ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{e}> \frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}$

ולכן הטור מתבדר, כיוון שהטור ההרמוני מתבדר.